2021年北约自主招生试题及答案解析版

2021年北约自主招生试题及答案解析版22021“北约”自主招生试题2021-03-16(时间90分钟,满分120分)一、选择题(每题8分,共48分)1.以1-()A.2B.3C.5D.6【解】由1x=可知22x=,同理由1x-=可知3(1)2x-=;所以方程23(2)[(1)2]0xx---=的次数最小,其次数为5,故选C.2.在66?的表中停放3辆完全相同的红色和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车只占一格,共有种停放方法.A.720B.20C.518400D.14400【解】红色车选3列有3620C=种方法,再从这三列中选三行有3620C=种方法,另外将红色车放在已选好的三列三行中有326?=种方法,同理黑色车只能从剩下的三行三列九个格中选,也有326?=种方法,因此方法数有(20216)614400???=种.故选D.3.已知225xy=+,225yx=+(xy≠),则32232xxyy-+值为()A.10-B.12-C.14-D.16-【解】由225xy=+与225yx=+两式作差得2()xyxy+=-≠,代入两式中分别化出2210xx+-=、2210yy+-=,所以,xy是方程2210tt+-=的两个不等实根,于是2,1xyxy+=-=-,也所以3223222()[()3]2()(2)7216xxyyxyxyxyxy-+=++--=-?-=-.故选D.4.在数列{}na中,11a=,142nnSa+=+(1n≥),则2021a值为()A.202130192?B.202130192?C.202130182?D.无法确定【解】由11a=,142nnSa+=+(1n≥)……①可知,当1n=时,2142Sa=+,所以25a=;当2n≥时,有142(2)nnSan-=+≥……②,由①-②式得,1144(2)nnnaaan+-=-≥,即1122()(2)nnnnaaaan+--=-≥,且2123aa-=所以11232nnnaa-+-=?(*nN∈),同除以2n得,113222nnnnaa+--=,且1012a=;所以13122nnan+=+,故令2021n=时,得2021202123019a=?,故选A.5.在ABC?中,D为BC中点,DM平分ADB∠交AB于点M,DN平分ADC∠交AC于N,则BMCN+与MN的关系为()A.BMCNMN+B.MNCNMN+C.BMCNMN+=D.无法确定【解】如图,在DA取DEDB=,连接,,MENEMN则显然可证,MEMBENNC==,且有MENEMN+≥,即BMCNMN+≥,上述不等式当且仅当180MEDDEN∠+∠=,也即180BC∠+∠=,这显然与三角形内角和定理矛盾,故等号取不到,也即选A.6.模长都为1的复数,,ABC满足0ABC++≠,则BCACABABC++++的模长为()A.12-B.1C.2D.无法确定【解】由题知1AABBCC===,所以2BCACABBCACABBCACABABCABCABC++++++=?++++++,也即2BCACABBCACABBCACABABCABCABC++++++=?++++++313BACAABCBACBCABACBABCCACB++++++==++++++,故选B.二、解答题(每题18分,共72分)7.最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数,并证明你的结论.【解】:至多有4个.首先可以取1,3,7,9这四个数,它们任意三个数之和分别为11,13,17,19符合质数定义.下面再证明5个正整数是不符合题意的.若有5个正整数,则考虑质数被3除的余数,如果有一个数的余数为0,那么考虑余下的4个数被3除的余数,如果余数既有1也有2,那么这两个数与前面余数为0的数的和刚好为3MACDBMACDBE的倍数,故不符合题意,如果余下四个数的余数均相等,显然取余下四个数中的三个数,则这三个数的和为3的倍数不是质数,也不符合题意,如果这5个数被3除的余数都不等于3,则由抽屉原理,至少有3个数被3除的余数相同,这三个数的和是3的倍数不是质数,也不符合题意.综上可知,不存在5个正整数符合题意,即至多有4个正整数符合题意.8.已知12320210aaaa++++=,且122320211|2||2||2|aaaaaa-=-==-证明:12320210aaaa=====.【证明】:观察可知12320210aaaa++++=,即21322021202112021(2)(2)(2)(2)0aaaaaaaa-+-++-+-=……①又122320211|2||2||2|aaaaaa-=-==-,不妨设12|2|aat-=,则①可写为(2021)0(02021,)ktktkkN--=≤≤∈,即(22021)0kt-=,又显然220210k-≠,则有0t=,于是有122320212021202112,2,,2,2aaaaaaaa====,所以2021112aa=,即10a=.也所以12320210aaaa=====,即证.9.对于任意θ,求632coscos66cos415cos2θθθθ---的值.【解】632coscos66cos415cos2θθθθ---31cos232()cos66cos415cos22θθθθ+=---3234(1cos23cos23cos2)(3cos24cos2)6cos415co2θθθθθθθ=+++----2412cos26cos446(1cos4)6cos410θθθθ=+-=++-=即求.10.有一个mn?的数表,已知每一行的数均是由小到大排列.现在将每一列的数由小到大重新排列,则新的数表中每一行的数满足什么样的关系？请证明你的结论.〖原题叙述〗:已知有mn?个实数,排列成mn?阶数阵,记作{}ijmna?,使得数阵中的每一行从左到右都是递增的,即对意的1,2,3,,im=,当12jj2ijijaa列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的mn?阶数阵,记作{}ijmna?',即对任意的1,2,3,,in=,当12ii2ijijaa''mna?'中每一行的n个数的大小关系,并说明理由.【解】:数阵{}ijmna?'中每一行的n个数从左到右都是递增的,理由如下:显然,我们要证明数阵{}ijmna?'中每一行的n个数从左到右都是递增的,我们只需证明,对于任意1,2,3,,im=,都有(1)ijijaa+''kkqiqaa++'=,其中121,2,3,,,{,,,}{1,2,,}kkmiiim==,则当tp≤时,都有(1)(1)(1)ttiqiqtqpqpqaaaaa+++'''≤=≤mna?'中的第q列中,至少排在第1p+行,与pqa'排在第p行矛盾.所以对于任意的1,2,,im=,都有(1)ijijaa+'',即数阵{}ijmna?'中每一行的n个数从左到右都是递增的.