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2021年哈尔滨铁道职业技术学院单招数学模拟试题[含答案解析]2021哈尔滨铁道职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}01M=，，{}012345I=，，，，，，则IMe为（）Ａ．{}01，Ｂ．{}2345，，，Ｃ．{}02345，，，，Ｄ．{}12345，，，，2．函数5tan(21)yx=+的最小正周期为（）Ａ．π4Ｂ．π2Ｃ．πＤ．2π3．函数1()lg4xfxx-=-的定义域为（）Ａ．(14)，Ｂ．[14)，Ｃ．(1)(4)-∞+∞U，，Ｄ．(1](4)-∞+∞U，，4．若tan3α=，4tan3β=，则tan()αβ-等于（）Ａ．3-Ｂ．13-Ｃ．3Ｄ．135．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)xxaaxaxax++=+++++++L，则01211aaaa++++L的值为（）Ａ．2-Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．26．一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为（）Ａ．132Ｂ．164Ｃ．332Ｄ．3647．连接抛物线24xy=的焦点F与点(10)M，所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为（）Ａ．1-Ｂ．32Ｃ．1Ｄ．328．若π02x，则下列命题正确的是（）Ａ．2sinπxxＢ．2sinπxxＣ．3sinπxxＤ．3sinπxx9．四面体ABCD的外接球球心在CD上，且2CD=，AD=AB，间的球面距离是（）Ａ．π6Ｂ．π3Ｃ．2π3Ｄ．5π610．设32:()21pfxxxmx=+++在()-∞+∞，内单调递增，4:3qm≥，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h，2h，3h，4h，则它们的大小关系正确的是（）Ａ．214hhhＢ．123hhhＣ．324hhhＤ．241hhh12．设椭圆22221(0)xyabab+=的离心率为1e2=，右焦点为(0)Fc，，方程20axbxc+-=的两个实根分别为1x和2x，则点12()Pxx，（）Ａ．必在圆222xy+=上Ｂ．必在圆222xy+=外Ｃ．必在圆222xy+=内Ｄ．以上三种情形都有可能二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为(00)O，，(11)B，，则ABAC=uuuruuurg．14．已知等差数列{}na的前n项和为nS，若1221S=，则25811aaaa+++=．15．已知函数()yfx=存在反函数1()yfx-=，若函数(1)yfx=+的图象经过点(31)，，则函数1()yfx-=的图象必经过点．16．如图，正方体1AC的棱长为1，过点作平面1ABD的垂线，垂足为点H．有下列四个命题Ａ．点H是1ABD△的垂心Ｂ．AH垂直平面11CBDＣ．二面角111CBDC--Ｄ．点H到平面1111ABCD的距离为34其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数21(0)()21(1)xccxxcfxcx-+=??+（1）求常数c的值；（2）解不等式()18fx+．18．（本小题满分12分）如图，函数π2cos()(00)2yxxωθωθ=+∈R，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π．（1）求θ和ω的值；（2）已知点π2A?????，，点P是该函数图象上一点，点00()Qxy，是PA的中点，当0y=ππ2x??∈????，时，求x的值．19．（本小题满分12分）栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗．．的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．的概率分别为0.7，0.9．（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．的概率；（2）求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．的概率．20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111ABC为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知11111ABBC==，11190ABC∠=o，14AA=，12BB=，13CC=．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面111ABC；（2）求AB与平面11AACC所成的角的大小；（3）求此几何体的体积．21．（本小题满分12分）设{}na为等比数列，11a=，23a=．（1）求最小的自然数n，使2021na≥；（2）求和：212321232nnnTaaaa=-+--L．22．（本小题满分14分）设动点P到点1(10)F-，和2(10)F，的距离分别为1d和2d，122FPFθ=∠，且存在常数(01)λλ得212sinddθλ=．（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；（2）如图，过点2F的直线与双曲线C的右支交于AB，两点．问：是否存在λ，使1FAB△是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题1．Ｂ2．Ｂ3．Ａ4．Ｄ5．Ａ6．Ｄ7．Ｂ8．Ｂ9．Ｃ10．Ｃ11．Ａ12．Ｃ二、填空题13．114．715．(14)，16．A，B，C三、解答题17．解：（1）因为01c，即3918c+=，12c=．（2）由（1）得411122()211xxxfxx-???+0?=?1???+，，≤由()1fx得，当102x时，解得142x112x28x所以()18fx+的解集为58x????．18．解：（1）将0x=，y=2cos()yxωθ=+中得cosθ=因为π02θ≤≤，所以π6θ=．由已知πT=，且0ω，得2π2π2Tπω===．（2）因为点π02A?????，，00()Qxy，是PA的中点，02y=．所以点P的坐标为0π22x?-?．又因为点P在π2cos26yx??=+???的图象上，且0ππ2x≤≤，所以05πcos46x??-=???，07π5π19π4666x-≤≤，从而得05π11π466x-=或05π13π466x-=，即02π3x=或03π4x=．19．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件1A，2A；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件1B，2B，1()0.6PA=，2()0.5PA=，1()0.7PB=，2()0.9PB=．（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为1212()1()10.40.50.8PAAPAA+=-=-?=g；（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件AB，，则11()()0.42PAPAB==，22()()0.45PBPAB==．恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为()0.420.550.580.450.492PABAB+=?+?=．解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为11211221221212()0.492PABAABABAABAABB+++=．20．解法一：（1）证明：作1ODAA∥交11AB于D，连1CD．则11ODBBCC∥∥，因为O是AB的中点，所以1111()32ODAABBCC=+==．则1ODCC是平行四边形，因此有1OCCD∥，1CD?平面111CBA，且OC?平面111CBA则OC∥面111ABC．（2）解：如图，过B作截面22BAC∥面111ABC，分别交1AA，1CC于2A，2C，作22BHAC⊥于H，因为平面22ABC⊥平面11AACC，则BH⊥面11AACC．连结AH，则BAH∠就是AB与面11AACC所成的角．因为2BH=，AB=sin10BHBAHAB==∠．AB与面11AACC所成的角为BAH=∠．（3）因为2BH=，所以222213BAACCAACCVSBH-=g．111(13222=+=gg．1112211111212ABCABCABCVSBB-===gg△．所求几何体的体积为221112232BAACCABCABCVVV--=+=．解法二：（1）证明：如图，以1B为原点建立空间直角坐标系，则(014)A，，，(002)B，，，(103)C，，，因为O是AB的中点，所以1032O?????，，，1102OC??=-???uuur，，，易知，(001)n=r，，是平面111ABC的一个法向量．由0OCn=uuurrg且OC?平面111ABC知OC∥平面111ABC．（2）设AB与面11AACC所成的角为θ．求得1(004)AA=uuur，，，11(110)AC=-uuuur，，．设()mxyz=ur，，是平面11AACC的一个法向量，则由11100AAmACm?=??=??uuururguuuururg得00zxy=??-=?，取1xy==得：(110)m=ur，，．又因为(012)AB=--uuur，，所以，cosm，mABABmAB==uruuuruuurguruuurgsinθ=所以AB与面11AACC所成的角为arcsin．（3）同解法一21．解：（1）由已知条件得112113nnnaaa--??==???g，因为67320213nnnT-=-+-+-L，…………①2234212112342123333333nnnnnT--=-+-++-L，…………②+①②得：2232124111121333333nnnnT-=-+-+--L2211231313nnn-=-+22333843nnn--=gg所以22223924163nnnnT+--=g．22．解：（1）在12PFF△中，122FF=22221212121242cos2()4sinddddddddθθ=+-=-+212()44ddλ-=-12dd-=2的常数）故动点P的轨迹C是以1F，2F为焦点，实轴长2a=方程为2211xyλλ-=-．（2）方法一：在1AFB△中，设11AFd=，22AFd=，13BFd=，24BFd=．假设1AFB△为等腰直角三角形，则12343421323422πsin4ddaddaddddddλ??-=?-=??=+??=??=??LLLLL①②③④⑤由②与③得22da=，则1343421)dadddaa=??=??=-=?由⑤得342ddλ=，21)2aλ=(8)2λλ--=，(01)λ=，故存在1217λ-=方法二：（1）设1AFB△为等腰直角三角形，依题设可得21212212122πsinπ81cos4πsin24AFAFAFAFBFBFBFBFλλλλ??===????-?????=?=???gggggg所以12121πsin1)24AFFSAFAFλ==g△，121212BFFSBFBFλ==g△．则1(22)AFBSλ=+△．①由12122221AFFBFFSAFSBF==+△△，可设2BFd=，则2(21)AFd=+，1(22)BFABd==+．则122211(22)22AFBSABd==+△．②由①②得2(22)2dλ+=．③根据双曲线定义12221BFBFaλ-==-可得，(21)21dλ+=-．平方得：22(21)4(1)dλ+=-．④由③④消去d可解得，1222(01)17λ-=∈，故存在122217λ-=满足题设条件．