2021年浙江省台州市高二上学期人教A版数学期末测试试卷

2021年浙江省台州市高二上学期人教A版数学期末测试试卷2021年浙江省台州市高二上学期人教A版数学期末测试试卷一、选择题（共10小题；共50分）1.过点A0,1与直线y=x−1平行的直线方程是  A.x+y−1=0B.x−y−1=0C.x+y+1=0D.x−y+1=02.若一个球的半径为1，则它的表面积是  A.4πB.2πC.πD.3π43.已知圆C：x2+y2+2x−4y=0，则圆C的圆心坐标为  A.1,−2B.−1,2C.1,2D.−1,−24.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线A1B与CC1所成角的大小为  A.60∘B.30∘C.90∘D.45∘5.设直线l的方向向量为1,−1,1，平面α的一个法向量为−1,1,−1，则直线l与平面α的位置关系是  A.l⊂αB.l∥αC.l⊥αD.不确定6.已知直线l在平面α内，则“l⊥β”是“α⊥β”的  A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系中，方程∣x∣2+∣y∣4=1所表示的曲线是  A.椭圆B.三角形C.菱形D.两条平行线8.已知抛物线y2=4x上一动点Mx,y，定点N0,1，则x+∣MN∣的最小值是  A.3B.2C.3−1D.2−19.已知F1和F2分别是椭圆C:x22+y2=1的左焦点和右焦点，点Px0,y0是椭圆C上一点，且满足∠F1PF2≥60∘，则x0的取值范围是  A.−1,1B.−233,233C.1,2D.233,210.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F，E1，F1分别为棱AB，AC，AA1，CC1的中点，点G，H分别为四边形ABB1A1，BCC1B1的对角线的交点，点I为△A1B1C1的外心，P，Q分别在直线EF，E1F1上运动，则在G，H，I，这三个点中，动直线PQ  第1页（共8页）第2页（共8页）A.只可能经过点IB.只可能经过点G，HC.可能经过点G，H，ID.不可能经过点G，H，I二、填空题（共6小题；共30分）11.直线x−y−3=0的斜率为，倾斜角为．12.在空间直角坐标系中，点A2,1,2到原点O的距离为，点A关于原点O对称的点的坐标为．13.如图，某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为．14.已知双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程为y=3x，则双曲线的离心率为．15.直线l1：ax−y−a+2=0a∈R，过原点O的直线l2与l1垂直，垂足为M，则∣OM∣的最大值为．16.已知A2,2，Ba,b，对于圆x2+y2=4上的任意一点P都有∣PA∣∣PB∣=2，则点B的坐标为．三、解答题（共5小题；共65分）17.设p：“方程x2+y2=4−a表示圆”，q：“方程x24−y2a+1=1表示焦点在x轴上的双曲线”，如果p和q都正确，求实数a的取值范围．18.如图，在正方体中ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别为BB1，B1C1的中点．（1）求证：直线EF∥面ACD1．（2）求二面角D1−AC−D的平面角的余弦值．19.已知抛物线C顶点在原点，关于x轴对称，且经过P1,2．（1）求抛物线C的标准方程及准线方程；（2）已知不过点P且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，若AB为直径的圆经过点P，试求直线l的方程．20.已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，AA1=22，D为BC中点．（1）若E为棱CC1的中点，求证：A1C⊥DE；（2）若点E在棱CC1上，直线CE与平面ADE所成角为α，当sinα=255时，求CE的长．21.已知椭圆C：x2a+y2b=1ab0的右焦点为1,0，且右焦点到上顶点的距离为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P2,2的动直线交椭圆C于A，B两点，（ⅰ）若∣PA∣∣PB∣=203，求直线AB的斜率；（ⅱ）点Q在线段AB上，且满足1∣PA∣+1∣PB∣=2∣PQ∣，求点Q的轨迹方程．第3页（共8页）答案第一部分1.D2.A3.B4.D5.C6.A7.C【解析】x≥0，y≥0方程为x2+y4=1；x≥0，y≤0方程为x2−y4=1；x≤0，y≥0方程为−x2+y4=1；x≤0，y≤0方程为−x2−y4=1，所以方程∣x∣2+∣y∣4=1的曲线围成的封闭图形是一个以0,4，2,0，0,−4，−2,0为顶点的菱形．8.D【解析】抛物线的焦点坐标为1,0，M到准线的距离为d，则x+∣MN∣=d+∣MN∣−1=∣MF∣+∣MN∣−1≥∣NF∣−1=2−1,所以x+∣MN∣的最小值是2−1．9.B【解析】因为a=2，b=1，所以c=1．设当点P在第一象限时，∣PF1∣=t1，∣PF2∣=t2，则由椭圆的定义可得：t1+t2=22, ⋯⋯①在△F1PF2中，当∠F1PF2=60∘，所以t12+t22−2t1t2⋅cos60∘=4, ⋯⋯②由①，②得t2=2−63，由焦半径公式的a−ex0=2−63，解得x0=233，当点P向y轴靠近时，∠F1PF2增大，根据对称性，则x0的取值范围是：−233,233．10.A【解析】如图所示：三棱柱ABC−A1B1C1中，连接GH，则GH∥E1F1，所以G，H，F1，E1四点共面于平面GHF1E1；又点P∉平面GHF1E1，Q∈E1F1，所以Q∈平面GHF1E1，且Q∉GH，第4页（共8页）所以PQ与GH是异面直线，即PQ不过点G，且不过点H；又点I为△A1B1C1的外心，当A1B1⊥B1C1时，I为A1C1的中点，若P与F重合，Q是E1F1的中点，此时PQ过点I．第二部分11.1，45∘12.3，−2,−1,−213.214.215.5【解析】直线l1：ax−y−a+2=0a∈R，化为y=ax−a+2，则直线l1的斜率为a，当a=0时，l1：y=2，因为过原点O的直线l2与l1垂直，所以直线l2的方程为x=0，所以M0,2，所以∣OM∣=2，当a≠0时，则直线l2的斜率为−1a，则直线l2的方程为y=−1ax，由y=ax−a+2,y=−1ax,解得x=aa−2a+1，y=2−aa+1，所以Maa−2a+1,2−aa+1，则∣OM∣=a−22a+1=a2−4a+4a+1，设y=a2−4a+4a2+1，则1−ya2−4a+4−y=0，所以Δ=16−41−y4−y≥0，解得0≤y≤5，所以∣OM∣的最大值为5，综上所述：∣OM∣的最大值为5．16.1,1【解析】设Px,y，则x−22+y−22=2x−a2+2y−b2，化简可得2−2ax+2−2by+a2+b2−2=0，a=1，b=1时，方程恒成立，所以点B的坐标为1,1．第三部分17.若命题p真：方程x2+y2=4−a表示圆，4−a0，即a因为p和q都正确，所以a−1,a⇒−118.（1）连接BC1，第5页（共8页）第6页（共8页）则EF∥BC1，因为BC1∥AD1，所以EF∥AD1，因为EF⊄面ACD1，AD1⊂面ACD1，所以直线EF∥面ACD1．（2）连接BD，交AC于点O，连接OD1，则OD⊥AC，OD1⊥AC，所以∠DOD1是二面角D1−AC−D的平面角，设正方体棱长为2，在Rt△D1DO中，OD=2，OD1=6，所以cos∠DOD1=ODOD1=26=33，所以二面角D1−AC−D的平面角的余弦值为33．19.（1）由题意可设抛物线的标准方程为：y2=2pxp0，把点P1,2代入可得：22=2p×1，解得p=2．所以抛物线C的标准方程为：y2=4x，准线方程为x=−1．（2）直线l的方程为：y=x+b，代入抛物线方程可得：y2−4y+4b=0，Δ=16−16b0，解得b设Ax1,y1，Bx2,y2，所以y1+y2=4，y1⋅y2=4b，所以x1+x2=y1+y2−2b，x1x2=y124⋅y224=b2．由题意可得：PA⋅PB=0，所以x1−1x2−1+y1−2y2−2=x1⋅x2−x1+x2+1+y1⋅y2−2y1+y2+4=0,第7页（共8页）所以b2−4−2b+1+4b−8+4=0，即b2+6b−7=0，解得b=−7或b=1（舍去）．所以直线l的方程为：x−y−7=0．20.（1）建立如图所示空间直角坐标系，A123,0,22，D0,0,0，E0,−2,2，C0,−2,0，DE=0,−2,2，A1C=−23,−2,−22，所以DE⋅A1C=0+4−4=0，所以DE⊥A1C；（2）CE=a0≤a≤22，则E0,−2,a，A23,0,0，DA=23,0,0，DE=0,−2,a，设平面ADE的法向量n=x,y,z，则23x=0,−2y+az=0,取n=0,a,2，设CE与平面ADE所成角为α，满足sinα=aa2+4=255，所以a=1，即CE=1．21.（1）由题意得：c=1，a=所以b2=a2−c2=1，所以x22+y2=1；（2）（ⅰ）设直线AB：y=kx−2+2，点Ax1,y1，Bx2,y2，由x22+y2=1,y=kx−2+2得：1+2k2x2+4k2−2kx+22−2k2−2=0，（∗）所以x1+x2=4k2−2k1+2k，x1x2=22−2k2−21+2k，∣PA∣∣PB∣=1+k2∣2−x1∣⋅1+k2∣2−x2∣=1+k24−2x1+x2+x1x2=101+k2=20,解得：k2=1，即k=1或−1；（ⅱ）设点Qx0,y0，由点Q在直线AB上，得y0=kx0−2+2，（∗∗）又1∣PA∣+1∣PB∣=2∣PQ∣，得12−x1+12−x2=22−x0，因为12−x1+12−x2=4−x1+x24−2x1+x2+x1x2，所以2−x0=2×4−2x1+x2+x1x24−x1+x2=2×2+x1x2−44−x1+x2=51+2k,所以k=3+x022−x0，把它代入（∗∗）式，得y0=kx0−2+2=3+x022−x0x0−2+2=−12x0+12，即点Q的轨迹方程是：x+2y−1=01−1033．第8页（共8页）