Ch_4

Ch_4第四章线性定常系统的综合前三章我们着重讨论了状态空间的分析方法。利用这些方法可以分析系统的结构、性能。而综合是分析相反的一个命题。对于给定的一个受控系统)C,B,A(=∑，确定其控制规律，即设计控制器的结构参数，使其控制性能满足事先给定的性能指标，这样一类问题称为系统的综合问题。本章中只限于讨论线性定常系统在常规性能指标下的综合问题，并且只涉及极点配置问题及镇定问题。关于解耦问题，将在单独一章中讨论。§4.1状态变量反馈和输出反馈无论在经典控制理论还是在现代控制理论中，反馈都是系统设计的重要方式。但是，由于经典控制理论是用传递函数来描述系统的，因此它只能对输出量进行一定改造后用来作为反馈量。这种方式称为输出反馈，即量测输出量，再由输出的测量值与给定的输入量进行比较后确定闭环系统的控制规律。而在现代控制理论中是用系统的内部状态变量来描述系统特性的，所以除了上述的反馈外，通常采用状态反馈，即利用系统的全部状态变量作为反馈量。一、输出反馈和状态反馈的基本形式设线性定常系统为)1.4(???+=+=uDxCyuBxAx其输入u，状态变量x，输出量y的维数分别是mnr,,，输出反馈图4.1换，变换矩阵为F，控制u便成为：)2.4()()()(1xHCwFHDIuuDxCHwFyHwFu-+=+-=-=-即可导出闭环系统的方程wFHDIDxHCHDIDCxHCwFHDIDxCywFHDIBxHCHDIBAxHCwFHDIBxAx111111)(])([)()()(])([)()(------+++-=-++=+++-=-++=以下我们假定0=D，这样闭环系统就成为)3.4()(???=+-=xCywBFxBHCAx显然其传递函数阵为).(BF)BHCASI(C)s(,WFH441-+-=如果IF=，即对输入不作变换，就成为单纯的输出反馈，这时（4.3）式，（4.4）式分别为如下形式：)6.4()()()5.4()(1BBHCASICsWxCywBxBHCAxH-+-=???=+-=状态反馈的基本形式如图4.2所示图4.2F变换，则得控制)7.4(xKwFu-=这种反馈方式称状态反馈，闭环状态方程为：)8.4()()(???+-=+-=wDFxDKCywBFxBKAx当0=D时，闭环方程为)9.4()(???=+-=xCywBFxBKAx其传递函数为：).(BF)BKASI(C)s(,WFK1041-+-=若IF=，则（4.9），（4.10）两式分别为：)11.4()(???=+-=xCywBxBKAx).(B)BKASI(C)s(WK1241-+-=从（4.6）式和（4.12）式可以看出，输出反馈和状态反馈均可改变系统的极点。但是反馈的引入并不增加新的状态变量，即闭环系统和开环系统具有相同的阶数。比较（4.5）式和（4.11）式可以看出，当HCK=时，状态反馈和输出反馈的控制效果是一样的，凡是输出反馈阵H所能达到的效果，通过状态反馈阵HCK=来代替，可达到同样的控制效果。但是反过来，由于已知K、C时H阵不一定有解，这说明状态反馈有可能获得比输出反馈更好的效果，输出反馈仅仅是状态反馈的特殊情况。由（4.11）式可知，适当地选择反馈阵K，可以改善系统的性能或者满足一定的设计指标。例4.1设有二阶系统],[,10,102121ββ=??????=??????--=TcbaaA分析状态反馈对系统性能的影响。解：),,(TcbA∑的传递函数为：12212aSaSS)s(w+++=ββ取状态反馈IF],k,k[kT==21则??????+-+-=-)ka()ka(kbAT221110闭环传递函数为：)ka(S)ka(SS)s(wK1122212+++++=ββ则：24112222221)ka()ka)ka(+-+±+=（－、λ显然可见，只要适当地选择21k,k，闭环的极点可以任意配置，如果122214a)ka(k-+=闭环就有两个相同的极点，并且在22ak-时是稳定的；如果122214a)ka(k-+122214a)ka(k-+闭环成为振荡系统，在22ak-时系统稳定，系统的稳态偏差为211112*********11)ka()ka()ka())ka((te,kaevp++-+++-=+-=ββββ若要求0=pe，就需111β+-=ak，这时1222ββ-+=kaev若还要求0=ve，就需222β+-=ak，那么自然要求02β，否则系统就不稳定了。二、状态反馈、输出反馈对系统能控性和能观性的影响为了简单起见，我们讨论在IF,D==及0的条件下反馈对能控、能观性的影响，这并不失去一般性。此时原系统表示为)13.4(???=+=xCyuBxAx令)14.4(xKwu-=闭环系统的状态空间表达式为)15.4()(???=+-=xCywBxBKAx1．状态反馈不影响系统的能控性计算式（4.15）的能控性矩阵，因为):()(KBDBDABBKBABBBKA=-=-=-这里的线性组合）、ABBBABDABBKABBKA())(()(22+=--=-[][]???????????????=--+=-+=+-=------100101)()(()(()()(()(1122112323BAABBBBKABBKABBABAABBBABBKABAABBBAABBBABKABBKAnnnnn故有的线性组合）、、、、的线性组合）、、的线性组合）、上式中最后一个矩阵为非奇异矩阵，因此有)16.4(][])()([11BAABBrankBBKABBKABranknn--=--式（4.16）表明状态反馈不影响系统能控性，即若原系统是完全能控的，加上任意状态反馈后，所得到的闭环系统也完全能控。若原系统是不完全能控的，不论加上什么样的状态反馈，所得到的闭环系统仍然不完全能控。2．状态反馈不一定保持系统的能观性状态反馈有可能改变系统的能观性，即若原系统完全能观，在某些状态反馈作用下，所得的闭环系统可能是不完全能观的。若原系统不完全能观，在某些状态反馈作用下，所得的闭环系统可能成为完全能观。对此，举例可以说明。例4.2系统运动方程为[]xyuxx10,101011=??????+??????=显然该系统不完全能观，若取状态反馈[]111=k时，闭环系统为[]?????=??????+??????-=+-=xywxwbxkbAx10100111)(显然该系统完全能观。若取状态反馈[]102=k时，闭环系统为[]?????=??????+??????=+-=xywxwbxkbAx10100011)(此时该系统仍然不完全能观。当[]xy11=时，系统是完全能观的，若取[]213=k时，闭环系统不完全能观，若取[]114=k时，闭环系统仍是完全能观的。当[]xy01=时，系统完全能观，加任意的状态反馈后所得的闭环系统仍是完全能观的。3.输出反馈可保持系统的能控性和能观性因为对任一输出反馈系统都可以对应地构成等价的一个状态反馈系统，而状态反馈保持能控性，从而证明了输出反馈可保持能控性。再证明输出反馈可保持能观性。带有输出反馈的状态空间表达式为)17.4()(???=+-=xCywBxBHCAx显然只要证明下式成立即可。)18.4()()(11????????????=????????????----nnCACACrankBHCACBHCACCrank证明方法与上面证明状态反馈能保持能控性的方法类似，读者可自行证明。可见我们可以给出这样的结论：状态反馈不影响系统的能控性但不一定保持系统的能观性，输出反馈不影响系统的能控性和能观性。§4.2单变量系统的极点配置控制系统的各种特性或各种品质指标，在很大程度上是由系统的极点决定的。因此，系统的综合形式之一，可以在S平面上给定一组所希望的极点，通过状态反馈阵k的选择，使闭环系统),,(TTkcbkbA-∑的极点恰好处于希望的一组极点的位置上。由于希望极点位置有任意性，因此极点的配置应当做到具有任意性。这就是所谓极点配置问题。一、希望极点的选取对于希望的极点选取，实际上是确定综合目标的问题。这里仅提出一般应了解的方面。（1）对于n维受控系统，应当且只应当指定n个希望的极点。（2）对希望极点位置的选取，需要研究它门对系统品质的影响，以及它们与零极点分布状况的关系，从工程实际需要出发加以解决。（3）希望极点可以是实数或共轭复数对。工程实际的需要要包括抗干扰能力，灵敏度等，所以极点位置的选取实际上是个复杂的工作。二、极点配置定理对单输入单输出系统)c,b,A(T∑在S平面上预先任意指定n个极点，则存在着状态反馈律：)19.4()()()(twtxktuT+-=使闭环系统)c,b,kbA(TTk-∑极点位于预先指定的位置上的充分必要条件是原系统)c,b,A(T∑完全能控。证明：上面我们已经证明了状态反馈不影响系统的能控性，因此可以说若一个系统不完全能控，那么状态反馈不能改变系统的不能控模态。这就证明了系统可以任意配置极点的必要条件是受控系统)c,b,A(T∑是完全能控的。下面证明充分性。由于),,(TcbA∑为能控的，那么一定可以通过非奇异变换，化成能控规范型)c~,b~,A~(T=∑，其中)20.4(],,[~,100~,0~1211nTnncbpppIAββ=????????????=??????---=-对于状态反馈阵]k~,,k~,k~[k~nT21=，有??????+-+-+-=--)k~p()k~p()k~p(Ik~b~A~nnnT221110可见状态反馈系统)c~,b~,k~b~A~(~TTk-=∑仍为能控标准型。这样状态反馈系统的特征多项为：).()k~p(S)k~p(S)k~b~A~(SI)s(fnnnnT214111+++++=?--=-假定任意给定的极点分布为nλλλ,,,21，则希望的特征多项式为).(SSS)S()S(fnninnnni22412111*-=*--**+++=-=∏αααλ比较（4.21）式，（4.22）式，可知)n,,,i(k~piii21==+*α则iiipk~-=*α所以)23.4(],,,[~2211nnTpPPk---=***ααα而原系统)c,b,A(T=∑的线性反馈律应为：xkwuT-=由xTxxTx~,~1==-即代入上式xTkwuT~-=所以TkkTT=~即1-=Tk~kTT由于线性非奇异变换不改变系统的特征多项式(4.21)，所以k正是所要求的反馈增益向量。上面只是对单输入系统作了证明，不难看到，定理对多输入系统也是成立的。上述证明过程也给出了单变量系统极点配置的方法，现归纳如下：（1）对于给定的系统),(bA=∑化为能控标准型)~,~(~bA=∑；（2）导出系统)b~,A~(~=∑的特征多项式，它也是原系统的特征多项式。11PSPS)s(fnnn+++=-（3）根据给定的极点分布),,,(nλλλ21导出希望的闭环特征多项式。*-*=*+++=-=∏111ααλnnnniiSS)S()S(f（4）确定能控标准型)b~,A~(~=∑的状态x~的反馈向量],,,[~2211nnTPPPk---=***ααα（5）原系统)b,A(=∑的状态x的反馈阵1-=Tk~kTT（6）输入变换阵F对单变量系统是标量，可由综合指标中对系统静态误差要求来确定。当然，具体综合某个特定系统的状态反馈不一定完全遵照上述步骤，可根据具体问题有所改变。例4.3已知图4.3(a)所示的受控系统，其传递函数为)10139.0)(==Sw图4.3yx(b)综合指标为:输出超调量%Mp5≤峰值时间秒50.tp≤静态误差200.e,evp==解：考虑到综合指标既有动态要求，又有静态要求，所以采用状态反馈和输入变换相结合的形式，即如图4.3（b）所示。(1)将给定指标化为希望极点，确定希望模型。显然希望极点数3=n。现在这样选取：一对为主导极点对21λλ和，另一个为远方极点3λ如图4.4所示。而远方极点只有微小的影响，主导极点对构成二阶系统模型，有关系式：ζθωλλ121-===cos,n其中ζ：阻尼系数,nω：自然