2021广州市高二上数学期末考

2021广州市高二上数学期末考2021学年广东省广州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，则?UA=（）A．?B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}考点：补集及其运算．分析：根据补集的定义直接求解：?UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合．解答：解：根据补集的定义，?UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件．?UA={2，4，5}故选：C．点评：本题考查了补集的定义以及简单求解，属于简单题．2．（5分）已知点P（3，﹣4）是角α终边上的一点，则tanα=（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：直接利用正切函数的定义，即可得到结论．解答：解：∵点P（3，﹣4）是角α终边上的一点，∴tanα==，故选A．点评：本题考查正切函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．3．（5分）若直线y=ax+3与直线y=﹣2x+a垂直，则实数a的值为（）A．﹣2B．2C．D．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由给出的直线的方程求出两条直线的斜率，因为两条直线互相垂直，所以斜率之积等于﹣1，列式后可以求得实数a的值．解答：解：直线y=ax+3的斜率为k1=a，直线y=﹣2x+a的斜率为k2=﹣2．因为直线y=ax+3与直线y=﹣2x+a垂直，所以k1?k2=﹣1，即a×（﹣2）=﹣1，解得：a=．故选D．点评：本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系，解答此类问题时，如果不需要讨论，可以求出两直线的斜率，利用斜率之积等于﹣1解决，若y的系数含有字母，可直接利用两直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件为A1A2+B1B2=0解决．此题是基础题．4．（5分）要用一根铁丝焊接围成一个面积为9的矩形框，不考虑焊接损耗，则需要铁丝的长度至少为（）A．24B．12C．6D．3考点：基本不等式；函数最值的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：设矩形的长为x，宽为y，则xy=9，铁丝的长度为2（x+y），利用基本不等式，即可得到结论．解答：解：设矩形的长为x，宽为y，则xy=9∴铁丝的长度为2（x+y）≥2?=12当且仅当x=y=3时，铁丝的长度最小为12，故选B．点评：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．5．（5分）如图，在边长为2的正方形ABCD内随机取一点P，分别以A、B、C、D为圆心、1为半径作圆，在正方形ABCD内的四段圆弧所围成的封闭区域记为M（阴影部分），则点P取自区域M的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是正方形面积S=2×2，而阴影部分区域可以看作是由边长为2的正方形面积减去半径为1的圆的面积得到，最后利用几何概型的概率公式解之即可．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件是矩形面积S=2×2=4，阴影部分区域的面积是4﹣π，∴由几何概型公式得到P==1﹣，故选C．点评：本题主要考查了几何概型，解题的关键求阴影部分的面积，同时考查了计算能力，属于中档题．6．（5分）某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．1考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：先根据三视图判断出几何体的形状及长度关系，然后利用棱锥的体积公式求出几何体的体积．解答：解：由三视图知，该几何体为底面为直角边长分别为1和2的直角三角形，一条侧棱垂直底面，几何体的高为1，∴该几何体的体积为V=Sh=××1×2×1=故选B．点评：解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用几何体的面积及体积公式解决．7．（5分）函数的零点所在的区间为（）A．B．C．D．考点：函数零点的判定定理．专题：探究型．分析：利用根的存在定理，分别判断，各区间端点处函数值的符合是否相反，从而确定零点所在的区间．解答：解：函数在（0，+∞）上单调递增．因为，，，，所以，所以根据根的存在性定理可知函数的零点所在的区间为．故选D．点评：本题主要考查函数与方程的关系，利用根的存在定理去判断函数零点所在区间，是解决本题的关键．8．（5分）已知等差数列{an}的首项为4，公差为4，其前n项和为Sn，则数列{}的前n项和为（）A．B．C．D．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的前n项和即可得出Sn，再利用“裂项求和”即可得出数列{}的前n项和．解答：解：∵Sn=4n+=2n2+2n，∴．∴数列{}的前n项和===．故选A．点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式、“裂项求和”是解题的关键．9．（5分）在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，则=（）A．4B．2C．﹣2D．﹣4考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：依照向量模的几何意义求出两向量的模，再求出夹角，计算即可．解答：解：易知，所以原式==2×2×=﹣4故选D点评：本题考查向量数量积的基本运算，属于基础题．此题易错点在于两向量夹角应为135°，而非45°．10．（5分）设函数f（x）的定义域为R，若存在与x无关的正常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x恒成立，则称f（x）为有界泛函．有下面四个函数：①f（x）=1；②f（x）=x2；③f（x）=2xsinx；④．其中属于有界泛函的是（）A．①②B．③④C．①③D．②④考点：函数恒成立问题．专题：计算题；新定义．分析：本题考查阅读题意的能力，根据有界泛函的定义进行判定：对于①可以利用定义直接加以判断，对于②可以利用绝对值的性质将不等式变形为|x|≤m，对于③，即|2sinx|≤M，只需M≥2，对于④，将不等式变形为≤M，可以求出符合条件的m的最小值解答：解：对于①，显然不存在M都有1≤M|x|成立，故①错；对于②，|f（x）|=|x2|≤M|x|，即|x|≤M，不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是有界泛函；②错对于③，f（x）|=|2xsinx|≤M|x|，即|2sinx|≤M，当M≥2时，f（x）=3xsinx是有界泛函．．③对对于④，||）|≤M|x|，即≤M，只需，④对综上所述，③④故选B点评：本题属于开放式题，题型新颖，考查数学的阅读理解能力．知识点方面主要考查了函数的最值及其几何意义，考生需要有较强的分析问题解决问题的能力，对选支逐个加以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．（5分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点，则函数f（x）的定义域是[0，+∞）．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：依题意可求得α=2，从而可求f（x）的定义域．解答：解：∵f（x）=xα的图象过点（2，），∴2α=，∴α=，∴f（x）=x，∴函数f（x）的定义域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．点评：本题考查幂函数的性质，求得α是关键，属于基础题．12．（5分）如图给出的是计算值的一个程序框图，当程序结束时，n的值为2021．考点：循环结构．专题：计算题．分析：利用循环结构的功能和判断框即可得出．解答：解：当i=2021时，i＜2021，执行“是”后得到i=2021，2021＜2021不成立，执行“否”，输出S．故答案为2021．点评：正确理解循环结构的功能和判断框是解题的关键．13．（5分）已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，4，0），B（2，0，3），C（2，2，z），若∠C=90°，则z的值为﹣1或4．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由∠C=90°，可得，利用向量的数量积运算可求得z值．解答：解：=（0，﹣2，z），=（0，2，z﹣3），因为∠C=90°，所以，即0﹣2×2+z（z﹣3）=0，解得z=﹣1或4，故答案为：﹣1或4．点评：本题考查利用数量积判断两个向量的垂直关系，属基础题．14．（5分）设实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是[8，34]．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，设P（x，y），可得x2+y2=|OP|2表示O、P两点距离的平方之值，因此运动点P并加以观察可得|OP|的最大、最小值，即可得到x2+y2的范围．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（3，5），B（3，1），C（1，3）设P（x，y）为区域内一个动点则|OP|=，因此x2+y2=|OP|2表示O、P两点距离的平方之值∵当P与A重合时|OP|==达到最大值，当P与原点O在BC上的射影D重合量，|OP|==2达到最小值∴|OP|2的最小值为8，最大值为34，即x2+y2的取值范围是[8，34]故答案为：[8，34]点评：本题给出二元一次不等式组，求x2+y2的取值范围，着重考查了两点的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程.15．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，1），C（1，0）．（1）求以点C为圆心，且经过点A的圆C的标准方程；（2）若直线l的方程为x﹣2y+9=0，判断直线l与（1）中圆C的位置关系，并说明理由．考点：直线与圆的位置关系；圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：（1）因为圆C的圆心为C（1，0），可设圆C的标准方程为（x﹣1）2+y2=r2．把点A（3，1）代入圆C的方程求得r2=5，从而求得圆C的标准方程．（2）由于圆心C到直线l的距离为，大于半径，可得直线l与圆C相离．解答：解：（1）因为圆C的圆心为C（1，0），可设圆C的标准方程为（x﹣1）2+y2=r2．因为点A（3，1）在圆C上，所以（3﹣1）2+12=r2，即r2=5．所以圆C的标准方程为（x﹣1）2+y2=5．（2）由于圆心C到直线l的距离为．因为，即d＞r，所以直线l与圆C相离．点评：本小题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系等基础知识，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．16．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若，，求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用两角和的正弦公式及周期即可得出；（2）利用（1）及已知可得sinα，进而得到cosα，于是可得．解答：解：（1）==．所以函数f（x）的最小正周期是2π．（2）由（1）得，．因为，所以．即．因为，所以．所以=4sinαcosα==．点评：本小题主要考查周期的概念，考查三角恒等变换的运算以及化归与转化的数学思想．17．（14分）对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取N名学生作为样本，得到这N名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[3，6）10m[6，9）np[9，12）4q[12，15]20.05合计N1（1）求出表中N，p及图中a的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选2人，求至少有一人参加社区服务次数在区间[12，15]内的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）由分组[12，15）内的频数是2，频率是0.05，可得，所以N=40．再由10+n+4+2=40，解得n=24，由此求得以及的值．（2）记“至少有一人参加社区服务次数在区间[12，15）内”为事件A．这个样本中参加社区服务次数不少于9次的学生共有4+2=6人．从