一次函数和反比例函数训练及答案

一次函数和反比例函数训练及答案例3已知函数y＝(2m－1)232-mx，m为何值时，(1)y是x的正比例函数，且y随x的增大而增大?(2)函数的图象是位于第二、四象限的双曲线?例4从－2，－1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y＝kx＋b的系数k，b，则一次函数y＝kx＋b的图象不经过第四象限的概率是______．例5如图7－2，在反比例函数)0(2=xxy的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝______．图7－2例6在同一坐标系中，一次函数y＝(1－k)x＋2k＋1与反比例函数xky=的图象没有交点，则常数k的取值范围是______．例7如图7－3，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y＝－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为()图7－3A．(0，0)B．)21,21(-C．)22,22(-D．)21,21(-例8已知点)0,3(),0,0(),1,3(CBA，AE平分∠BAC，交BC于点E，则直线AE对应的函数解析式是()．A．332-=xyB．y＝x－2C．13-=xyD．23-=xy例9直线y＝x－1与坐标轴交于A，B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有()．A．4个B．5个C．7个D．8个例10(1)直线y＝2x＋1向下平移2个单位，再向右平移2个单位后的直线的解析式是______；(2)直线y＝2x＋1关于x轴对称的直线的解析式是______；直线y＝2x＋1关于y轴对称的直线的解析式是______；直线y＝2x＋1关于原点对称的直线的解析式是______．(3)如图7－7，已知点C为直线y＝x上在第一象限内一点，直线y＝2x＋1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB平移后经过(3，4)点，则平移后的直线的解析式是______．图7－7例11(2021江苏)某加油站五月份营销一种油品的销售利润y(万元)与销售量x(万升)之间函数关系的图象如图7－8中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止到15日进油时的销售利润为5.5万元．(销售利润＝(售价－成本价)×销售量))图7－8请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：(1)销售量x为多少时，销售利润为4万元?(2)分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA，AB，BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大?(直接写出答案)例12已知：如图7－9，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，4)，直线CM∥x轴．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b(b为常数)经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD．(1)求b的值和点D的坐标．(2)设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标．例13如图7－10，已知反比例函数xmy=(x＞0)的图象与一次函数y＝2521+-x的图象交于A，B两点，点C坐标为)21,1(，连接AC，AC平行于y轴．(1)求反比例函数的解析式及点B的坐标；(2)现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A，B之间的部分滑动(不与A，B重合)，两直角边始终分别平行于x轴，y轴，且与线段AB交于M，N两点，试判断P点在滑动过程中△PMN是否总与△CAB相似，并简要说明判断理由．例14如图7－11，点A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)都在反比例函数xky=的图象上．(1)求m，k的值；(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的解析式．四、课标考试达标题(一)选择题1．函数y＝(m－1)22-mx图象是双曲线，在每一象限内，y随x的增大而增大，则m的值为()．A．1B．－1C．±1D．3±2．已知点(2，－6)在函数y＝kx图象上，则函数yxk=图象在()．A．一、三象限B．二、四象限C．一、四象限D．二、三象限3．已知反比例函数xy6=图象经过(x1，y1)，(x2，y2)两点，且y1＜y2＜0，则x1，x2的大小关系为()．A．x1＞x2＞0B．x1＜x2＜0C．x2＞x1＞0D．x2＜x1＜04．如图7－13所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝20°．动点P，Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ＝100°．设BP＝x，CQ＝y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为()．图7－13ABCD5．函数y＝kx－1与xky-=(k≠0)在同一坐标系中的图象可能是()．ABCD6．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图7－14所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位回到家门口需要的时间是()．图7－14A．12分钟B．15分钟C．25分钟D．27分钟(二)填空题7．若函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则不等式3x＋b＞ax－3的解集是______．8．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与两坐标轴围成一个△AOB，现将背面完全相同，正面分别标有数31,21,3,2,1的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的倒数作为点P的纵坐标，则点P落在△AOB内的概率为______．9．如图7－15，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1，0)，点B的坐标是)3,0(，点C在坐标平面内，若以A，B，C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30°，则满足条件的点C有______个．图7－15(三)解答题10．如图7－16，点A是函数xxy(2=＞0)图象上任意一点，过A点分别作x，y轴的平行线交函数)0(1=xxy图象于点B，C，过C点作x轴的平行线交函数xy2=图象于点D．图7－16(1)设A点的横坐标为a，试用a表示B，C点的坐标；(2)求四边形ABCD的面积．11．已知：如图7－17，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A(－3，0)，C(1，0)，?=∠43tanBAC图7－17(1)求过点A，B的直线的函数表达式；(2)在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似(不包括全等)，并求点D的坐标；(3)在(2)的条件下，若P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问：是否存在这样的m，使得△APQ与以A，D，B为顶点的三角形相似?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．解(1)欲符合题意，m需满足???=--.123,0122mm解得?????±=.1,21mm∴m＝1．(2)欲符合题意，m需满足???-=-mm解得???????±=33,21mm.33-=∴m解?==61122P∴一次函数图象不经过第四象限的概率是?61解由题意知，).21,4(4PS1＋S2＋S3＝2?=?-23211解由题意知??????=++-=xkykxky,12)1(.12)1(++-=∴kxkxk∴(1－k)x2＋(2k＋1)x－k＝0．∵两函数图象无交点，?????1k解当AB与直线y＝－x垂直时，AB最短．(如图7－4所示)图7－4∵直线y＝－x，∴∠AOB＝45°．∴△AOB是等腰直角三角形．过B作BC⊥x轴于C．∵A(1，0)，∴OA＝1，?==2121AOBC).21,21(-∴B∴此题选B．解如图7－5，易证∠BAC＝60°，∠ABC＝30°．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝30°．∵AC＝1，∴?=33CE).0,332(.332EBE∴=∴可得直线AE的解析式为.23-=xy应选择D．说明平面直角坐标系中的几何问题，解决关键往往在于将直线的条件转化为点的坐标及线段长，只需得到线段长，就可以解三角形、解四边形，反之亦然．图7－5解如图7－6所示，①当AB＝AC时，C有三个位置，以A为圆心，AB为半径的圆与坐标轴分别交于C1，C2，C3；图7－6②当BC＝AB时，C有三个位置，以B为圆心，AB为半径的圆与坐标轴分别交于C4，C5，C6；③当AC＝BC时，C有一个位置，AB的中垂线与坐标轴交于C7(原点)．∴应选C．说明学会用尺规作图来解决“等线段”问题，对于等腰三角形常见分类要熟练掌握．有时，还要注意这些点之间是否有重合情况．解(1)y＝2x－5；(2)y＝－2x－1，y＝－2x＋1，y＝2x－1；(3)y＝2x－2．提示：设所求直线上的点P(x，y)，则P点关于x轴的对称点为P1(x，－y)，当P1点在直线y＝2x＋1上时，可得y＝－2x－1，所以直线y＝2x＋1关于x轴对称的直线的解析式为y＝－2x－1，同理可得其他两条直线的解析式．说明直线图形变换的本质是点的变换．当两直线关于原点对称时，两直线平行，它们的一次项系数相等．解法一(1)由题意知，当销售利润为4万元时，销售量4÷(5－4)＝4万升．答：销售量x为4万升时，销售利润为4万元．(2)点A的坐标为(4，4)，从13日到15日利润为5.5－4＝1.5，所以销售量为1.5÷(5.5－4)＝1，所以点B的坐标为(5，5.5)．设线段AB所对应的函数关系式为y＝kx＋b，则???+=+=.55.5,44bkbk解得???-==.2,5.1bk∴线段AB所对应的函数关系式为y＝1.5x－2(4≤x≤5)．从15日到31日共销售5万升，利润为1×1.5＋4×1＝5.5(万元)．∴本月销售该油品的利润为5.5＋5.5＝11(万元)，则点C的坐标为(10，11)．设线段BC所对应的函数关系式为y＝mx＋n，则???+=+=.1011,55.5nmnm解得???==.0,1.1nm所以线段BC所对应的函数关系式为y＝1.1x(5≤x≤10)．(3)线段AB段的利润率最大．解法二(1)根据题意，线段OA所对应的函数关系式为y＝(5－4)x，即y＝x(0≤x≤4)．当y＝4时，x＝4，所以销售量为4万升时，销售利润为4万元．答：销售量x为4万升时，销售利润为4万元．(2)根据题意，线段AB对应的函数关系式为y＝1×4＋(5.5－4)×(x－4)，即y＝1.5x－2(4≤x≤5)．把y＝5.5代入y＝1.5x－2，得x＝5，所以点B的坐标为(5，5.5)．此时库存量为6－5＝1．当销售量大于5万升时，即线段BC所对应的销售关系中，每升油的成本价=?+?=55.44414.4(元)，所以，线段BC所对应的函数关系式y＝(1.5×5－2)＋(5.5－4.4)(x－5)＝1.1x(5≤x≤10)．(3)线段AB段的利润率最大．解(1)因为点B与点A关于原点对称，点A的坐标为(1，0)，所以点B的坐标为(－1，0)．因为直线y＝x＋b(b为常数)经过点B，所以0＝－1＋b，解得b＝1，所以直线为y＝x＋1．因为点C的坐标为(0，4)，直线CM∥x轴，所以点D的纵坐标为4．因为直线y＝x＋1与直线CM交于点D，当y＝4时，4＝x＋1，解得x＝3，所以点D的坐标为(3，4)．(2)因为O为原点，点D的坐标为(3，4)，点C的坐标为(0，4)，所以OC＝4，CD＝3，所以OD＝5．因为点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，则分三种情况：①当PD＝PO时，有,21cosPOODDOP=∠因为,53coscos==∠=∠ODCDCDODOP所以，5321=POOD解得625=PO．所以点P的坐标为)0,625(②当PD＝OD时，PO＝2CD＝6，所以点P的坐标为(6，0)．③当OD＝PO时，PO＝5，所以点P的坐标为(5，0)．解(1)由)21,1(C得A(1，2)，代入反比例函数xmy=中，得m＝2．∴反比例函数解析式为).0(2=xxy点B的坐标同时满足2521+-=xy及y＝x2．由xx22521