东北大学概率论与数理统计期末试题

东北大学概率论与数理统计期末试题2021-2021(1)概率统计试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共30分.）1.随机事件是样本点的集合.口袋中有5只外形相同的球，分别编号1,2,3,4,5，从中同时取3只球，则球的最小号码为1的事件为{}.2.设随机变量X的密度函数为f(x)2(1)2()xx---∞（Φ(1)=0.8413,Φ(2)=0.9772.）3.设D(X)≠0,D(Y)≠0，那么由D(X+Y)=D(X–Y)一定有X,Y．（独立、不独立、相关、不相关）4.若随机变量X1,X2,X3相互独立，且X1～P(2),X2～E(1),X3～B(4,0.25)，则E(X1–4X2X3)=，D(2X1–3X2+X3)=.5.已知E(X)=12,D(X)=1，那么利用切比雪夫不等式估计P{96.设X1,X2,…,Xn相互独立，均服从χ2(8)，则算术平均11niiXn=∑依概率收敛于.7.当样本容量一定时，显著性水平α越小，即犯第类错误的概率就越，而犯第类错误的概率就越.8.设X1,X2,…,Xn是来自均匀总体U(1,7)的一个样本，X为样本均值，2S为样本方差，则E(X)=，E(2S)=.9.设X1,X2,…,X10是来自正态总体N(0,0.5)的一个样本，则(X1–X2)2+(X3–X4)2+…+(X9–X10)2～分布，2221392222410XXXXXX++++++～分布.10.已知来自总体N(μ,0.92)，容量为9的样本的样本均值x=5，则μ的置信度为0.95的置信区间为.(z0.05=1.645,z0.025=1.96,t0.05(8)=1.8595,t0.025(8)=2.306.)二、（共10分）1.（4分）某产品40件为一批，每批产品中没有次品的概率为0.4，有1,2,3件次品的概率分别为0.3,0.2,0.1.今从某批产品中随机地取10件，求其中恰有1件次品的概率.（注：只列出计算概率的算式，不要求计算结果.）2.（6分）已知随机变量X取四个值–1,0,2,3，相应的概率分别为1357,,,24816cccc，（1）求常数c；（2）计算P{X三、（12分）已知随机变量(X,Y)的分布律为\10110.30.20100.40.1XY--，（1）求D(2X–Y)；（2）判断X,Y的独立性与相关性；（3）求Z=max{X,Y}的分布律.四、（共22分）1.（6分）设随机变量X的密度函数为22,0,()0,0,xxexfxx-??=?≤??求Y=X2的密度函数.2.（16分）设随机变量(X,Y)的密度函数为,0,(,)0,,xeyxfxy-?=???其他（1）求P{X并判断X,Y的独立性；（3）求()YXfyx；（4）求Z=X+Y的分布.五、（6分）设各零件的重量是相互独立的随机变量，它们均服从相同的分布，期望、均方差分别为0.5kg和0.1kg，求2500只零件的总重量超过1240kg的概率.（(1)0.8413,Φ=(2)0.9772Φ=.）六、（8分）设X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本，X的密度函数为),,()0,,xaexafxxa--?≥=?七、（6分）规定企业污水中汞的最高允许排放浓度为0.05mg/L.今从某企业排放的污水中抽取了9个水样，测得汞含量的样本均值为0.051mg/L，样本均方差为0.003mg/L.假设每升污水中汞的含量服从正态分布，那么在显著水平0.10下该企业排放的污水中汞含量超标吗？(假设H0:μ≤0.05,H1:μ0.05.t0.10(9)=1.3830,t0.10(8)=1.3968,t0.05(9)=1.8331,t0.05(8)=1.8595.）八、（6分）下面是A班和B班各10位学生的某科考试成绩（10分制）：A班成绩：65887610497B班成绩：877105810686平均成绩分别为Ax=7,Bx=7.5，成绩均方差分别为As≈1.83,Bs≈1.65.又定义极差=11max{}min{}iiininxx≤≤≤≤-(其中12,,,nxxx为样本数据).（1）求每班成绩的众数、中位数和极差；（2）试根据平均成绩、成绩均方差与（1）中的结果，对两班的成绩作对比评点.一、1.{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)};2.0.4772;3.不相关;4.–2,3174;5.≥8/9;6.8;7.一，小，二，大;8.4,3;9.χ2(5),F(5,5);10.(4.412,5.588).二、1.解1919191392383371010104040400.30.20.1=?+?+?CCCCCCpCCC2.解(1)由1357124816+++=cccc，得c=16/37.(2)P{X35{13}22480.75862357{1}294816+-三、解(1)D(2X–Y)=4D(X)+D(Y)–4cov(X,Y)=4D(X)+D(Y)–4(E(X,Y)–E(X)E(Y))E(X)=0,E(X2)=1,D(X)=1;E(Y)=–0.2,E(Y2)=0.4,D(Y)=0.36;E(X,Y)=0.4D(2X–Y)=4×1+0.36–4×0.4=2.76(2)∵cov(X,Y)=0.4∴X,Y相关∵P{X=1,Y=–1}=0≠P{X=1}P{Y=–1}=0.5×0.3=0.15∴X,Y不独立(3)Z-101p0.30.20.5五、解设Xi表示第i个零件的重量，则E(Xi)=0.5,D(Xi)=0.12，i=1,2,..,2500.根据中心极限定理可知，2500只零件的总重量X=X1+X2+…+X2500近似地服从N(2500×0.5,2500×0.01)=N(1250,25)，于是所求事件的概率{}1240125012401(2)0.97725PX-??≈-Φ=Φ=???.四、1.解方法一∵2()20(0)''==yxxx∴,0,()0,0'?????=????≤?XYfyfyy,0,0,0.-?=?≤?yeyy方法二2(){}{}=≤=≤YFyPYyPXy当0,()0,()0;≤==YYyFyfy{(0,()=≤=-YXXyFyPXFF()()--=-=-=YXXyyfyffe因此,0,()0,0.-?=?≤?yYeyfyy2.解(1)P{X00012---===-???xxxdxedyxedxe(2)0,0,,0,()(,)0,0.0,0--+∞-∞???===??≤??≤???xxxXedyxxexfxfxydyxx,0,,0,()(,)0,0.0,0+∞--+∞-∞???===??≤??≤???xyyYedxyeyfyfxydxyy(,)()()≠XYfxyfxfy，故X,Y不独立.(3)当x0时，()0-=xXfxxe，这时有1,0,(,)()()0,??==???YXXyxfxyfyxxfx其他.(4)?+∞∞--=dxxzxfzfZ),()(，其中,2,(,)0,.-?其他xexzxfxzx当z≤0时，(,)0-=fxzx，此时0)(=zfZ；当z0时，(,)--=xfxzxe，此时22()---==-?zzxzzZfzedxee，所以Z的概率密度为2,0,()0,0.--??-=??≤?zzZeezfzz六、解E(X)=()()()=-+∞+∞+∞----∞==+???txaxataxfxdxxedxtaedt1+∞+∞--=+=+??tttedtaedta令1+a=X，得a的矩估计?1=-aX.当x1,x2,…,xn≥a时，似然函数为1212()()()()()---++++----==nnxaxxxnaxaxaLaeeee，x1,x2,…,xn≥0，取对数并求导数，有12(ln())(())0''=-++++=nLaxxxnan，故L(a)是a的增函数，即a越大，L(a)的值就越大.但由x1,x2,…,xn≥a可知，a≤min{x1,x2,…,xn}.因此a的最大似然估计量为a=min{X1,X2,…,Xn}.七、解提出假设H0:μ≤0.05,H1:μ0.05，检验统计量(8)=XTt，拒绝域为0.1(8)1.3968≥=Tt0.00111.39680.001===即认为在显著水平0.10下该企业排放的污水中汞含量不超标.八、解(1)A班众数6,7,8B班众数8A班中位数7B班中位数7.5A班极差6B班极差5(2)B班学生的成绩好于A班的.一、因为B班学生的平均成绩Bx=7.5高于A班的平均成绩Ax=7，说明B班学生的成绩整体上好于A班学生的成绩；二、B班的成绩均方差Bs≈1.65小于A班的成绩均方差As≈1.83，以及B班的极差小于A班的极差，都说明A班学生的成绩分布相对比较分散；三、A班的众数多小于B班的众数，又说明A班学生的成绩在低分段的相对比较多.2021-2021(1)概率统计试题及参考答案一、选择题（每小题3分，共15分）1.随机事件ABABAB发生，意味着[].(A),AB都发生；(B),AB至多有一个发生；(C),AB恰好有一个发生；(D),AB至少有一个发生.2.设随机变量230.40.6X-?????，则X的分布函数为[].(A)0,2,()0.4,23,0.6,3.xFxxx=-(C)0,2,()0.4,23,1,3.xFxxx=-≤3.已知221122(,),(,)XNYNμσμσ，且12{1}{1}PXPYμμ-(A)12σσ≤；(B)12σσ的是[].(0,1)XN;(B)222(1)(1)nSnχσ--;()Xtn;(D)X与2S相互独立.5.对原假设H0和备择假设H1，[]为犯第一类错误.(A)H1真，拒绝H1；(B)H1不真，拒绝H1；(C)H1真，接受H1；(D)H1不真，接受H1.二、填空题（每小题4分，共20分）1.设事件A1,A2,A3相互独立，且P(Ai)=1/3(i=1,2,3)，则A1,A2,A3至少发生一个的概率为.2.设随机变量X,Y,Z相互独立，概率密度函数分别为21(1)2211,13,,0,()()(),220,,0,0,yzXYZxeyfxfyfzzy---??-∞则E(3X–YZ2)=.3.二维正态变量(,)(2,1,8,15,0)XYN-，则Y，X与Y（独立，不独立，相关）.4.设X,2S是二项总体B(10,0.4)的简单随机样本的样本均值和样本方差，则E(X–2S)=.5.设某次考试的成绩服从正态分布2(,)Nμσ，其中2,μσ均未知.随机调出其中36位考生的成绩，算得平均分是66.5，标准差为15.为检验这次考试的平均成绩是否为70分，应提出原假设、备择假设以及检验用的检验统计量分别为.三、（12分）设随机变量(X,Y)的分布律为\1020.20.30100.40.1XY，（1）求Z=2X–Y的分布律；（2）求Cov(X,Y)；（3）判断X,Y的独立性与相关性.四、（共11分）1.（6分）设随机变量,02,()0,axxXfx?其他.（1）求常数a；（2）求分布函数F(x).2.（5分）设随机变量22,0,(1)()0,0,xxXfxxπ??+=??≤?求lnYX=的概率密度函数.五、（12分）设二维随机变量(X,Y)在由直线x=2,y=x/2及x轴所围成的区域内服从均匀分布，求：（1）(),()XYXfxfyx；（2）Z=X+Y的概率分布.六、（10分）某系统装有三个电子元件.假设：系统启动时它们同时开始工作；三个元件工作状态相互独立，且无故障工作的时间Ti(i=1,2,3)均服从参数为(0)λλ的指数分布；只要有一个元件在工作，系统就能正常工作（正常工作的时间记为T）.（1）求参数为λ的指数分布的分布函数；（2）给出T与T1、T2、T3的函数关系；（3）求T的概率密度函数.七、（共12分）1.（6分）设随机变量1,01,()0,,aaxxXfx-???其他其中(0)aa未知，X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本，求a的矩估计.2.（6分）已知总体X的分布律为