2010中考数学专题复习——等腰三角形

中考数学专题复习——等腰三角形一．选择题1．(2008年沈阳市)若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50B．80C．65或50D．50或802．(2008年大庆市)如图，将非等腰ABC△的纸片沿DE折叠后，使点A落在BC边上的点F处．若点D为AB边的中点，则下列结论：①BDF△是等腰三角形；②DFECFE；③DE是ABC△的中位线，成立的有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3．(2008年大庆市)如图，在ABC△中，ACBCAB，点P为ABC△所在平面内一点，且点P与ABC△的任意两个顶点构成PABPBCPAC△，△，△均是．．等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（）A．3B．4C．6D．74．（2008四川内江）如图，在RtABC△中，90C∠，三边分别为abc，，，则cosA等于（）A．acB．abC．baD．bcACBacbCBAABDECF5．(2008台湾)如图，ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，则AB=AC，CD=DE。若A=40，ABD：DBC=3：4，则BDE=？()(A)25(B)30(C)35(D)406．（2008湖北黄石）．如图，在等腰三角形ABC中，120ABC，点P是底边AC上一个动点，MN，分别是ABBC，的中点，若PMPN的最小值为2，则ABC△的周长是（）A．2B．23C．4D．4237.(2008安徽)如图，在ABC△中，5ABAC，6BC，点M为BC的中点，MNAC于点N，则MN等于（）A．65B．95C．125D．1658．(2008新疆乌鲁木齐市)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cmB．12cmC．15cmD．12cm或15cm9．(2008云南省)已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（）A．9B．12C．15D．12或1510．(2008山东济宁)如图，ABC△是等腰直角三角形，BC是斜边，将ABP△绕点A逆时针旋转后，能与ACP△重合，如果3AP，那么PP的长等于（）A．32B．23C．42D．33二．填空题1．（08山东省日照市）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作ABCPMNCDBAE正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的有______________（把你认为正确的序号都填上）．2．（2008年山东省临沂市）如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA＝OB＝1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn＝________。B1B2A1AOB３．（2008湖北孝感）如图，AB=AC，0120BAC，AB的垂直平分线交BC于点D，那么ADC。４．（2008浙江湖州）已知等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角为度.5．（08山东省日照市）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：ADCEFB①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的有______________（把你认为正确的序号都填上）（答案）．6．（2008江苏南京）若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为▲度.7．（2008江苏宿迁）等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为______．8.（2008江西）如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是．9．（2008年湖南省邵阳市）如图（十一），已知ABC△中，ABAC，AD平分BAC，点E为AC的中点，请你写出一个正确的结论：．10.（2008湖南益阳市）如图5，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积是cm2.AECDB图（十一）35°ABCEDOPQ11．（2008广东肇庆市）如图3，P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可）.三．简答题1.（08浙江温州）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；彬彬：“作ABC△的角平分线AD”．数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里．（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．2.（08浙江宁波）（1）如图1，ABC△中，90C∠，请用直尺和圆规作一条直线，把ABC△分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）．（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．BACDFE图53.(2008年沈阳市)已知：如图①所示，在ABC△和ADE△中，ABAC，ADAE，BACDAE，且点BAD，，在一条直线上，连接BECDMN，，，分别为BECD，的中点．（1）求证：①BECD；②AMN△是等腰三角形．（2）在图①的基础上，将ADE△绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：PBDAMN△∽△．4.(2008广东)（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小.已知：如图，在ABC△中，BC．求证：ABAC．ABDCCENDABM图①CAEMBDN图②CBOD图7ABAODCE图85.(2008湖南益阳)如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC.(1)求∠EDB的度数；(2)求DE的长.6.(2008新疆乌鲁木齐市)在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式：①ABDC，②BECE，③BC，④BAECDE．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AED△是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）已知：求证：AED△是等腰三角形．7.（2008湖北宜昌市）如图，某种雨伞的伞面可以看成由12块完全相同的等腰三角形布料缝合而成.量得其中一个三角形OAB的边OA=OB=56cm.（1）求∠AOB的度数；（2）求△OAB的面积.（不计缝合时重叠部分的面积）等腰三角形答案一．选择题ABCDEBEDAC1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.C8.C9.C10.A二.填空题1.①②③⑤．2.22n3.0604.405.①②③⑤6.110°或35°7.178.1259.答案不唯一．例如：BC10.611.PC=PD三.解答题1.解：（1）只要合理即可．（2）证明：作ABC△的角平分线AD，则BADCAD，又BC，ADAD，ABDACD△≌△，ABAC．2.解：（1）如图，直线CM即为所求3分（作图正确，不写结论不扣分）（2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形，4分分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132和84．5分图3不能分割成两个等腰三角形．6分3.证明：（1）①BACDAEBAECADABAC，ADAEABEACD△≌△BECD································3分②由ABEACD△≌△得ABEACD，BECDMN，分别是BECD，的中点，BMCN················4分又ABACABMACN△≌△AMAN，即AMN△为等腰三角形···················6分（2）（1）中的两个结论仍然成立．······················8分（3）在图②中正确画出线段PD由（1）同理可证ABMACN△≌△CANBAMBACMAN又BACDAEMANDAEBACAMN△，ADE△和ABC△都是顶角相等的等腰三角形··········10分PBDAMN，PDBADEANMPBDAMN△∽△12分4.解：（1）如图7.∵△BOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，∴OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°,∴∠4=∠5.又∵∠4+∠5=∠2=60°,∴∠4=30°同理，∠6=30°.∵∠AEB=∠4+∠6,图7O654321EDCBA∴∠AEB=60°.（2）如图8.∵△BOC和△ABO都是等边三角形，∴OD=OC,OB=OA,∠1=∠2=60°，又∵OD=OA,∴OD＝OB，OA＝OC，∴∠4=∠5，∠6=∠7.∵∠DOB=∠1+∠3,∠AOC=∠2+∠3,∴∠DOB=∠AOC.∵∠4+∠5+∠DOB=180°,∠6+∠7+∠AOC=180°,∴2∠5=2∠6,∴∠5=∠6.又∵∠AEB=∠8-∠5，∠8=∠2+∠6，∴∠AEB＝∠2＋∠5－∠5＝∠2，∴∠AEB＝60°.5.解：（1）∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC＝4021ABC（2）∵AB＝BC，BD是∠ABC的平分线，∴D为AC的中点∵DE∥BC，∴E为AB的中点，∴DE＝cmAB6216.证明：在ABE△和DCE△中，BCAEBDECABDC，ABEDCE△≌△AEDE，即AED△是等腰三角形7.解：（1）∠AOB=360°÷12=30°（2）在Rt△BOD中，∠AOB=30°，∴BD=21OB=28.∴S△OAB=21×OA×BD=21×56×28=784（cm2）图88765421EODCBA3