初一数学第七讲整式的加减

初一数学第七讲整式的加减学习过程一、复习预习1.列代数式(1)若正方形的边长为a，则正方形的面积是；(2)若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为；(3)若x表示正方形棱长，则正方形的体积是；(4)若m表示一个有理数，则它的相反数是；(5)小明从每月的零花钱中贮存x元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款元.2.请说出所列代数式的意义。3.观察所列代数式包含哪些运算，有何共同运算特征.二、知识讲解1.单项式（1）由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式.（2）单独一个数或一个字母也是单项式，如a，5.2.单项式系数和次数单项式的系数：单项式前面的数字.单项式的次数：各个字母的指数和.3.多项式多项式概念：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.其中，不含字母的项，叫做常数项.一个多项式含有几项，就叫几项式.多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数.4.单项式与多项式统称整式5.升幂排列与降幂排列（1）把多项式按x的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按字母x的降幂排列；（2）若按x的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按字母x的升幂排列.6.同类项（1）所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项(similarterms)；（2）所有的常数项都是同类项.7.合并同类项（1）定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；（2）合并同类项法则：同类项的系数相加作为新的系数，字母和字母的指数不变.8.去括号、添括号法则（1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里的各项都不改变符号；括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里的各项都改变符号.（2）括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前面是“—”号，括到括号里的各项都改变符号.9.整式加减的一般步骤（1）如果有括号，那么先去括号；（2）如果有同类项，再合并同类项.考点/易错点1（1）圆周率π是常数；（2）当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x2，－a2b等；（3）单项式次数只与字母指数有关.考点/易错点2注意：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，多项式的次数为最高次项的次数；（2）多项式的每一项都包括它前面的符号.考点/易错点3注意：（1）重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；（2）含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列.考点/易错点4判别同类项的关键（1）“两同”即字母同，同字母的指数同；（2）同类项与其系数的大小无关；（3）同类项与其字母的排列顺序无关.考点/易错点5去括号、添括号时要注意括号前面的符号还有数字，不要出现忘变号和漏乘的现象.三、例题精析【例题1】【题干】判断下列各代数式哪些是单项式.(1)21x；(2)abc；(3)b2；(4)－5ab2；(5)y；(6)－xy2；(7)－5【答案】（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）【解析】本题考查的是单项式的概念，要特别注意的是（1）形式上特别像单项式，但是出现了“+”号，是多项式.【变形1】下列代数式中，（）是单项式．A．212xy-B．ab+C．21x+D．21a【答案】A【解析】根据单项式的定义可知，几个字母与数的乘积或单个的字母与单个的数都是单项式，即可得答案．【变形2】下列代数式不是单项式的是（）A．()23--B．13-【答案】D【解析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式，可以做出选择．【例题2】【题干】判断下列各代数式是否是单项式。如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。①x＋1；②1x；③2rπ；④2ab-【答案】①不是；②不是；③是，系数是π，次数是2；④是，系数是-1，次数是3【解析】本题考查的是对单项式的概念、系数以及次数的理解和掌握，特别要注意的是π是数字不是字母.【变形1】（2021?椒江区二模）单项式-2πy的系数为（）A．2π-B．2-C．2πD．2【答案】A【解析】本题考查了单项式的应用，注意：说单项式的系数时带着前面的符号．【变形2】单项式22310xy-?的系数、次数分别是（）A．2310-?、二B．—3、五C．—3、四D．2310-?、三【答案】D【解析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【例题3】【题干】判断下列各式哪些是多项式.22xy+，x-，3ab+，10，61xy+，1x，217mn，225xx--，22xx+【答案】22xy+，3ab+，61xy+，225xx--【解析】本题考查了多项式的定义，多项式是若干个单项式的和.【变形1】下列各式中是多项式的是（）A．17B．22xy+C．3abD．2【答案】B【解析】本题主要考查多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．而单项式是数字与字母的乘积．【变形2】下列各式中是多项式的是（）A．15-B．22xyz-C．2xy+D．2rπ【答案】C【解析】根据几个单项式的和叫做多项式；数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式即可得到答案．【例题4】【题干】指出下列多项式的项和次数（1）2313xx-+（2）32422xxy+-【答案】（1）项分别为：3x，1-，23x；次数是2（2）项分别为：34x，2x，22y-；次数是3【解析】本题考查的是多项式的项和次数，要注意多项式的次数不是所有项的次数之和，多项式的次数为最高次项的次数；多项式的每一项都包括它前面的符号.【变形1】判断：①多项式3223aababb-+-的项为3a、2ab、2ab、3b，次数为12；②多项式42321nn--的次数为4，常数项为1。【答案】这两种说法都错误的.【解析】本题考查的是多项式的项，应注意的是在书写多项式的项时一定要带着前面的符号.【变形2】下列多项式中是二次三项式的是（）A．3ab+B．2345aabb++C．221aa++D．33ab+【答案】C【解析】由于多项式次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是多项式中所有单项式的个数，由此可确定所有答案的项数和次数，然后即可作出选择．【例题5】【题干】下列各式中，那些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？2a，2x+y，2xy+，21a，2xyx-，3a，5．【答案】整式：2a，2x+y，2xy+，3a，5不是整式：21a，2xyx-它们区别是分母中是否含有字母，若含有字母则不是整式，若不含有字母则是整式．【解析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【例题6】【题干】已知（n-1）2x+3xy+（n+1）2y是关于x、y的二元二次三项式，求n应满足的条件．【答案】解：∵多项式（n-1）2x+3xy+（n+1）2y是关于x、y的二元二次三项式，∴n10n10-≠+≠且，∴n1n1≠≠-且．【解析】本题考查了二次三项式的定义：一个多项式含有几项，是几次就叫几次几项式．注意一个多项式含有哪一项时，哪一项的系数就不等于0．【变形1】已知代数式3nx－(m－1)x＋1是关于x的三次二项式，求m、n的条件【答案】解：∵多项式3nx－(m－1)x＋1是关于x、y的三次二项式，∴n=3,0且m-1=，∴n3,1m==．【解析】一个多项式含有几项，是几次就叫几次几项式．注意一个多项式含有哪一项时，哪一项的系数就不等于0．【例题7】【题干】把多项式2πr－1＋3π3r－22rπ按r升幂排列。【答案】－1+2πr—22rπ＋3π3r【解析】本题考查了多项式的升幂降幂排列，需要注意的是重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动.【变形1】把多项式23311322xxx--++按x降幂排列，得：_________________.【答案】32133122xxx-+-【解析】要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号；1是0次项．【变形2】把多项式43434-3yy-2xyxx+按x降幂排列，得_________________；按y降幂排列，得_________________.【答案】按x降幂排列433443y-2xy+yxx-按y降幂排列4334y-2xy3y+4xx-【解析】要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号【例题8】【题干】判断下列说法是否正确，正确地在括号内打“√”，错误的打“×”。(1)3x与3mx是同类项()(2)2ab与5ab-是同类项()(3)23xy与2yx-是同类项()(4)25ab与22abc-是同类项()(5)23与32是同类项()【答案】×；√；√；×；√【解析】本题考查的是同类项的定义，要注意：同类项与其系数的大小无关；同类项与其字母的排列顺序无关.【变形1】指出下列多项式中的同类项：(1)321325xyyx-++--；(2)2222133232xyxyxyyx-+-【答案】(1)3x与－2x是同类项，－2y与3y是同类项，1与－5是同类项。(2)3x2y与－23yx2是同类项，－2xy2与31xy2是同类项。【解析】本题考查的是同类项的定义，要注意：同类项与其系数的大小无关；同类项与其字母的排列顺序无关.【例题9】【题干】下列各题合并同类项的结果对不对？若不对，请改正。(1)224235xxx=＋；(2)325xyxy=＋；(3)22734xx=－；(4)2299abba-=0。【答案】×；×；×；×.改正:222235xxx=＋；3232xyxy=＋＋；222734xxx=－【解析】本题考查的是合并同类项的法则：同类项的系数相加作为新的系数，字母和字母的指数不变【变形1】合并下列多项式中的同类项：①2a2b－3a2b＋0.5a2b；②a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3；③5(x＋y)3－2(x－y)4－2(x＋y)3＋(y－x)4。【答案】解：①bababababa222222121322132-=?????+-=+-。②()()33222233322223baababbababababbaabbaa+=-++-++=+-++-。③5(x＋y)3－2(x－y)4－2(x＋y)3＋(x－y)4=3(x＋y)3－(x－y)4。【解析】利用合并同类项法则即可解决本题.【例题10】【题干】化简下列各式：（1）8a+2b+（5a－b）；（2）（5a－3b）－3（2a－2b）．【答案】（1）解：原式=825(85)(21)13abababab++-=++-=+（2）解：原式=22253365(36)3533abababaaba--+=+-+-=+-【解析】本题考查的是合并同类项中的去括号法则，要注意变号和不要漏乘.【例题11】【题干】做一做：在括号内填入适当的项：(1)x2―x+1=x2―(______________)；(2)2x2―3x―1=2x2+(______________)；(3)()()()()bc________abcaaa+--+=+-［］[］。【答案】1x-；―3x―1；bc-、bc-【解析】本题应用的是添括号法则，要注意符号的变化.【例题12】【题干】求整式x2―7x―2与―2x2+4x―1的差【答案】解：原式=(x2―7x―2)―(―2x2+4x―1)=x2―7x―2+2x2―4x+1=3x2―11x―1。【解析】列式时注意给两个多项式都加上括号，后进行整式的加减【变形1】一个多项式加上2543xx---得23xx--，求这个多项式。【答案】解：()223543xxxx------=222354343xxxxxx--+++=++【解析】本题利用了减法是加法的逆运算，从而表示出要求的多项式，在计算时要注意符号的改变.四、课堂运用【基础】1.下列代数式中，（）是单项式．A．1x+B．-2021C．213x+D．2x2.下面各题的判断是否正确？①27xy-的系数是7；②22xy-与3x没有系数；③32abc-的次数是0＋3＋2；④3a-的系数是－1；⑤