第10章---二维双树复小波变换及应用

第10章二维双树复小波变换及其应用孙延奎清华大学计算机科学与技术系内容提要二维双树复小波变换小波纹理特征提取在图像检索、图像分类中的应用二维Gabor小波纹理特征提取与图像检索二维双树复小波纹理提取与图像检索水印、降噪、图像配准、图像融合、分类应用等一维双树复小波满足如下性质的复小波称为双树复小波(DT-CWT)()()i()chgttt为实部且为偶函数，正交或双正交小波为虚部且为奇函数，正交或双正交小波()gt()ht与彼此构成一个希尔伯特变换对。()ht()gt()1()()fHftdftttHilbert变换ˆi()0ˆ()(isgn())ˆi()0fff对应的傅里叶变换jcos()isin()tett二维双树复小波变换及实现二维双树实小波变换二维双树复小波变换二维双树复小波的构造由一维双树复小波构造二维方向性小波双树复小波构造沿用了可分离二维小波构造的方法，使，即()()i()hgttt(){()}ghtt(,)()()cxyxy(,)()()[()i()][()i()]()()()()i[()()()()]chghghhggghhgxyxyxxyyxyxyxyxy实部虚部是复小波，其理想的傅里叶频谱为该小波具有方向性的实部实部由两个可分离（实）二维小波的差构成。(,)()()cxyxyRealPart{(,)}()()()()chhggxyxyxy(,)()()cxyxyRealPart{(,)}cxy二维双树复小波12311(,)()()[(()()()())i(()()()())],2211(,)()()[(()()()())i(()()()())],2211(,)()()[(()()()()i(()22chhggghhgchhggghhgchhgggxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyx*4*5*6()()())],11(,)()()[(()()()())i(()()()())],2211(,)()()[(()()()())i(()()()())],2211(,)()()[(()(22hhgchhggghhgchhggghhgchhyxyxyxyxyxyxyxyxyxxxyxyxyxyxyxyxy)()())i(()()()())].ggghhgxyxyxy))()()()((i)()(21),(,,yxyxyxyxyxjyxyxghhggghhirc）（二维双树复小波6个不同的方向（时域）－45°－75°－15°15°45°75°实部虚部幅值二维双树复小波的实部取6个二维双树复小波的实部可得6个二维双树实小波。123411(,)ReP{()()}((()()()()),2211(,)ReP{()()}((()()()()),2211(,)ReP{()()}((()()()()),221(,)ReP{()2rhhggrhhggrhhggrxyalartxyxyxyxyalartxyxyxyxyalartxyxyxyxyalartx**5*61}((()()()()),211(,)ReP{()}((()()()()),221(,)ReP{()}(()()()()).2hhggrhhggrhhggyxyxyxyalartxyxyxyxyalartxyxyxy二维双树实小波变换的实现记则都是可分离二维尺度函数与小波函数之差。1,12,11,22,21,32,3(,)()(),(,)()(),(,)()(),(,)()(),(,)()(),(,)()().hhgghhgghhggxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy12(,)()(),(,)()(),hhggxyxyxyxy1,2,31,2,1(,)((,)(,))21(,)((,)(,))2rkkkrkkkxyxyxyxyxyxy121(,)(,)(,)2rxyxyxy1,2,3k二维双树实小波变换都可由两个二维可分离实小波变换并行实现。具体实现方法如下：对一个图像，用实现一个二维可分离小波变换，实现另一个，进行一次二维小波分解后可得到2个低频子带：2LL；6个高频子带：2个HL，2个LH，2个HH。每对子带的和或差构成低频系数及6个方向小波的小波变换系数。,,,,1,2,,6rrlffl01{(),()}hnhn01{(),()}gngn,rf,,1,2,,6rlfl列卷积行抽样1jc1jdjc,1jd,2jd,3jd行卷积列抽样1jc0hn1hn21,1jd210hn1hn1hn0hn,1jd12,1jd12,1jd12,1jd12一维列变换一维行变换另外一个2D-DWT用g0,g1代替h0,h1二维双树实小波的性质是不可分离的二维实小波。具有很好的方向性与传统可分离的二维小波相比，每个方向小波都代表一个特定的方向，表示的方向也比可分离的2D-DWT多。－45°－75°－15°15°45°75°二维双树实小波变换特点优点二维双树实小波是二维不可分离小波，具有6个方向的选择性；可由可分离二维小波构造。二维双树实小波变换只需对两个可分离二维实小波变换的对应子带进行简单的加减运算来实现，不需设计新的滤波器缺点2倍冗余不具有复小波变换的平移不变性二维双树复小波的虚部1234561(,)[(()()()()],21(,)[(()()()()],21(,)[()()()()],21(,)[()()()()],21(,)[()()()()],21(,)[()()2ighhgighhgighhgighhgighhgighxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy()()].hgxy都是不可分离的二维小波二维双树复小波变换定义可分离二维尺度函数与小波如下：则6个二维双树复小波的虚部为3,14,13,24,23,34,3(,)()(),(,)()(),(,)()(),(,)()(),(,)()(),(,)()().ghhgghhgghhgxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy3,4,33,4,1(,)((,)(,))21(,)((,)(,))2ikkkikkkxyxyxyxyxyxy1,2,3k定义令则二维双树复尺度函数及6个复小波为34(,)()(),(,)()()ghhgxyxyxyxy341(,)(,)(,)2ixyxyxy(,)(,)i(,)crixyxyxy333(,)(,)i(,)(,)(,)i(,)crikkkcrikkkxyxyxyxyxyxy1,2,3k相应的二维双树复小波变换为我们已介绍过实部小波变换的实现，下面主要说明虚部小波变换的实现。对于一个图像，1）使用滤波器做行变换，再使用滤波器做列变换，该2D-DWT得到1个低频子带LL和三个高频子带HL、LH、HH；2）使用滤波器做行变换，再使用滤波器做列变换，该2D-DWT得到1个低频子带LL和三个高频子带HL、LH、HH。每对子带的和或差构成低频系数及6个方向小波的小波变换系数。333,,i,,,i,,,i,cricrikkkcrikkkfffffffff1,2,3k01{(),()}gngn01{(),()}hnhn01{(),()}hnhn01{(),()}gngn,if,,1,2,,6ilfl列卷积行抽样1jc1jdjc,1jd,2jd,3jd行卷积列抽样1jc0gn1gn21,1jd210hn1hn1hn0hn,1jd12,1jd12,1jd12,1jd12一维列变换一维行变换另外一个2D-DWT将g0,g1与h0,h1互换位置二维双树复小波变换特点优点良好的方向选择性（±15°,±45°,±75°）高效的计算效率实现简单，不需设计新的滤波器近似平移不变性缺点4倍冗余双树复小波变换实现代码参考网站双树复小波变换的应用最显著的优点平移不变性(shiftinvariance)方向选择性(directionalselectivity)近似平移不变性的产生是因为实部小波和复部小波互为希尔伯特变换对，二者可以互相补偿；同时采用上下两颗树，可以大大减少传统DWT由于严格二抽样造成的混叠。二维双树复小波变换不仅可以表示更多方向的信息，而且它的方向选择性使其能近似地满足旋转不变性。这些性质使双树复小波在图像处理、数字水印等领域有非常广泛的应用。双树复小波变换的应用图像压缩图像滤波与去噪纹理特征提取数字水印图像融合基于小波的阈值收缩法Donoho等：硬阈值和软阈值算法软阈值：硬阈值：Levent等：利用尺度间的相关性，定义双变量收缩函数，使用DT-CWT1.DonohoDL,JohnstoneIM.Idealspatialadaptationviawaveletshrinkage.Biometrica,19942.L.Sendur,I.W.Selesnick,Bivariateshrinkagefunctionsforwavelet-baseddenoisingexploitinginterscaledependency,IEEETransactionsonSignalProcessing,Nov2002.,,,,,,,,,,00jkjkjkjkjkjkjkjkjkjkwTwTwwTwwTwwTwTwT降噪小波纹理特征提取纹理的基本概念小波纹理特征提取纹理的基本概念纹理是图像分析中常用的一个概念,但目前对纹理尚无精确的定义,一般认为,纹理是在某一图像区域中,相邻像素的灰度或色调,颜色等服从某种统计排列规则而形成的一种空间分布。大理石的纹理豹身上的纹理描述纹理的方法纹理的特征是平移不变性，也即对纹理的视觉感知基本上与其在图像中的位置无关。小波变换作为一种多尺度分析工具，为不同尺度上信号的分析和表征提供了精确和统一的框架。在图像某些区域，纹理存在于大的尺度中，而在某些区域，纹理则可能存在于小的尺度中，因而小波变换成为多尺度纹理分析的有用工具。纹理分类(识别)的流程在整个过程中,纹理特征的提取是关键的一步,它在很大程度上决定了分类的效果;整个过程的后端则相对成熟,有很多通用的分类算法,如人工神经网络(ANN),支持向量机(SVM)等。纹理的复杂性决定了纹理特征提取的复杂性,很难找到一种通用的高效的描述纹理的方法。训练阶段:训练纹理样本特征提取特征向量分类器训练分类器(模型)分类阶段:新纹理图像特征向量特征提取分类分类结果基于小波变换的纹理特征提取一种简单的基于小波变换的纹理特征提取流程如下图所示:首先,对纹理图像进行小波变换,然后通过变换系数来构造特