解三角形中角平分线之破题策略

解三角形中角平分线之破题策略如图，在ABC△中，D为BC边上的一点，连接AD，设ADl=，BAD，CAD，则一定有()sin+sinsin=lbcabab+．证明：ABCABDACDSSS△△△=+，111sinsinsin222bcclbl，同除以12bcl得：()sin+sinsin=lbcabab+．【例1】（2019•深圳模拟）在中ABC△，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，120ABC，BDBC交AC于点D，且1BD，则2ac的最小值为．【解析】如图，30ABD，90CBD，根据张角定理，sin120sin30sin90=1ac，故11322ac+=，根据柯西不等式，可得21121142acac，故8323ac，当仅当2ca=时等号成立.例1图例2图【例2】（2013•福建）如图，在ABC△中，已知点D在BC边上，ADAC，22sin3BAC，32AB，3AD，则CD的长为．【解析】2221sinsin133BAD，90DAC，根据张角定理，sinsinsin90=BACBADADbc，故11223932b+=，32b=，故2233.CDADAC=+=【例3】（2015•新课标Ⅱ）ABC△中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD△面积是ADC△面积的2倍．（1）求sinsinBC；（2）若1AD，22DC，求BD和AC的长．【解析】（1）如图，过A作AEBC于E，12212ABDADCBDAESSDCAE△△，2BDDC，AD平分BACBADDAC，ABD△中，sinsinBDADBADB，sinsinADBADBBD，ADC△中，sinsinDCADDACC，sinsinADDACCDC；sin1sin2BDCCBD．（2）由（1）知，22222BDDC．过D作DMAB于M，作DNAC于N，AD平分BAC，DMDN，12212ABDADCABDMSSACDN△△，2ABAC，令ACx，则2ABx，BADDAC，coscosBADDAC，ABCABDACDSSS△△△=+，111sin2sinsin222bccADbAD，13cos224ADADxxx，由余弦定理可得：222(2)1(2)32214xxx，1x，1AC，BD的长为2，AC的长为1．根据张角定理：①当ab=时，1cos2ADADbca=+，（角平分线张角定理）②21()sintan2ABCSADbcAD△aa=×+³（角平分线面积问题）证明：①根据张角定理可得：sin2sinsin=ADbcaaa+，2sincossinsin=ADbcaaaa\+，1cos2ADADbca\=+②2111112sinsin2()sin=()sinsin222sin2SSbcbcADADbcADbcADbcaaaaaa==+tanADSa=，tan2ADS，当仅当cb时等号成立.【例4】（2018•安阳二模）已知如图，在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosbCa，点M在线段AB上，且ACMBCM．若66bCM，则cosBCM（）A．104B．34C．74D．64【解析】如图所示，令ACMBCM，则sin2sinsin2cos11==16CMbaa，由于cosbCa，故90B，coscosaCM，112cos6cos，解得：()2cos3舍a=-，3cos=.4a【例5】（2019•江苏模拟）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，23ABC，ABC的平分线交AC于点D，1BD，则ac的最小值为．【解析】由题意得1211sinsinsin232323acac，即acac，得111ac，得11()()222224caacacacacacca…，当且仅当ac时，取等号，故答案为4．【例6】（2019•云南一模）在ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c，23ABC，BD平分ABC交AC于点D，2BD，则ABC的面积的最小值为()A．33B．43C．53D．63【解析】法一：设A，则03，233C，23ABC，BD平分ABC交AC于点D，2BD，3ABDCBD，在三角形ABD中，233ADB，根据正弦定理2sinsin()3ABBD，22sin()2sin()33sinsinAB，在三角形CBD中，3CDB，由正弦定理sin()sin()33BCBD，2sin()3sin()3BC，2sin()2sin()12333sin234sinsin()3SABBC131cos2sin2332(2cos23sin2)22221313sin2cos21cos2sin244436(2)22sin(2)16，03，52666，1sin(2)126„，当sin(2)16时，即6时，min3=(26)432S，故选：B．法二：根据角平分线张角定理可得：164)(22111)(21cosacaccaaccacBDaBD，当仅当ca时等号成立，故34sin21BacS，故选B．角平分线之斯库顿定理如图，AD是ABC△的角平分线，则2··.ADABACBDCD就其位置关系而言，可记忆：中方=上积一下积.已知：在ABC△中，2··ADBDDCABAC中，AD是BAC的平分线，求证：2··ADBDDCABAC【证明】作ABC△的外接圆，延长AD交圆于E，连BE，如图12ECABEADC∽△△、·ABAEADAC即··ADAEABAC··ADADDEABAC（）2··ADADDEABAC由相交弦定理得：2····BDDCADDEADBDDCABAC，注意：角平分线张角定理强调的是角度，斯库顿定理强调的是长度，斯库顿定理可以绕过求张角而直接求出三角形的各边长，通常和内角平分线定理合在一起出考题.【例7】（2019•赣榆期中）在ABC中，5AB，7AC，6BC，A的平分线AD交边BC于点D，则AD．【解析】法一：5AB，7AC，6BC，A的平分线AD交边BC于点D，由余弦定理可得：2222225671cos22565ABBCACBABBC，657BDDCABBDACDC，解得：52BD，在ABD中，由余弦定理可得：22225511052cos5()252252ADABBDABBDB．故答案为：1052．法二：利用角平分线定理657,5227BDDCBDCDABBDACDC，根据斯库顿定理：2··.ADABACBDCD代入数据得：1052AD．故答案为1052．【例8】如图，在ABC△中，2CB，3AC，5BC，求AB之长.【解析】作ACB的平分线CD交CD于D，2ACBBDCBBBDCD，，，由斯库顿定理得：2··CDACBCADDB，而CD是ACB的平分线，3355ADACADBDBDBC，223355BDBD，即2587564BDBD，26AB.