数学建模-人体膝关节受力分析-西南财经大学校赛2015

2015年西南财经大学数学建模校赛人体膝关节运动学问题参赛队员信息姓名专业年级学号电话邮箱2015/5/411460.655123.05321.293931.59040.1314yxxx人体膝关节运动学问题摘要：对于问题一，分析对峰力矩的影响因素及其影响大小。首先处理了数据中的异常和缺失数据，用excel做出了各变量相对于峰力矩的散点图，发现速度对其影响不受其他变量干扰，求出其它变量在不同角速度下与峰力矩的相关系数。结果是年龄，左右脚与峰力矩相关系数极小；身高，峰力矩角度与峰力矩相关性不大；峰力矩角度与峰力矩是测试系统同时生成的观测指标，不能作为自变量。性别x1，体重x4，屈伸膝x6，角速度w与峰力矩y的相关系数分别为0.571075,0.5195775，0.48212，-0.49915。对相关性较强的变量建立多元回归分析模型，用matlab软件解得方程为对于问题二，分析人胫股关节接触力与屈膝角度、身体各部位倾斜度的关系。我们将身体简化为以胯和膝两处为转折点，躯干、大腿、小腿为三段均匀杆的模型，杆的宽度是膝盖的宽度。假设人体质量均匀分布与长度正相关。（1）人的重心落在脚的地面的接触点上，过重心垂线两侧质量相等（两侧杆长度之和相等）。（2）胫股关节接触力力矩等于重力力矩。（3）查找资料确定人体各关节活动角度范围，完成模型建立。用LINGO软件求解得胫股关节最大接触力是体重的7.1倍。此时人体姿势为大腿与地面水平，与小腿夹角为45º，小腿与地面夹角为45º，腰部与水平面夹角为80.12º。对于问题中的说法验证结果为人体屈膝30º，膝关节承受压力是体重的1.54641倍；屈膝60º，膝关节压力为体重的4.0926倍；屈膝90º，所承受的压力是体重的6.44204倍。在一定误差范围下说法是正确的。对于问题三，分析人体在上下台阶时胫股关节接触力与腿部动作速度的关系。（1）沿用问题二中均匀杆模型，建立力矩平衡方程。（2）假设始终单腿承重，重心落在承重腿与地面接触点上。取上（下）一级台阶时间为一周期，完成承重腿由弯曲到直立（直立到弯曲）的动作。根据非承重腿刚离开（接触）地面时与地面和垂线构成直角三角形建立方程。（3）首先研究小腿与垂线角度，列出其与时间的关系式,再找到力与该角度关系,用LINGO解出力最大时的角度,确定当时测试者的姿势。LINGO的结果显示上下楼梯胫股关节接触力最大时姿势相同，在小腿与竖直面的夹角为41.38º膝盖受力最大，力为5505.44N，是体重的7.86倍，平均受力为2752.72N。对于问题四，定性分析了在举重过程中胫股关节接触力与其产生的对上半身支撑力的关系。建模后并进行两次修正。模型一中沿用问题三中均匀杆模型，根据大小腿在水平方向上分量相同建立联系，又根据虚功原理（膝盖水平方向做功等于支撑力竖直方向做功）列出支撑力'G与胫股关节接触力N关系式：112221tan'sin1+)cosNGbcb，从中看出大腿与地面垂直时即使N很小'G也趋于无限大。模型二修正了模型一中N为恒力的假设，得出12112221()sin'sin1cosbNNcGbcb，可见'G有一极限值，同时'G不仅与大小腿拉力有关还与大腿弯曲角度成正弦而非正切关系。模型三保持踝关节位置不变，修正了模型二中关于膝盖位移沿水平方向的假设，修正后结果11122212sin'(coscos)sinsin()GNN。关键词：回归模型人体均匀杆模型优化问题胫股关节受力分析21.问题重述1、膝关节力量的测试分析采用CON-TREX等速测力系统采集实验数据：选择膝屈/伸两个实验项目，进行四种方案测试：静止130°用力、运动60º/s、180º/s、300º/s，分别进行5次。测试者上身进行固定，要求双手握住两侧扶手，测试时必须用尽全力。测试数据见文件：data1：数据项包括：测试者编号、性别（1男2女）、年龄、身高、体重、左/右腿（1左2右）、屈/伸（1伸2屈）、静止130º峰力矩、60º/s峰力矩、60º/s峰力矩角度、180º/s峰力矩、180º/s峰力矩角度、300º/s峰力矩、300º/s峰力矩角度。试分析测试数据有那些特征，即：峰力矩的值与那些因素有关，以及关系的强弱。2、膝关节承重分析体重负荷下，胫股关节接触力随屈膝角度增大而增加。有资料显示，人体屈膝30º，膝关节承受压力和体重相等，屈膝60º，膝关节压力为体重的4倍，屈膝90º，所承受的压力是体重的6倍。试建立数学模型，分析在体重负荷、静止、双脚支撑状况下，胫股关节接触力与屈膝角度、身体各部位倾斜度的关系，确定最大胫股关节接触力及对应的屈膝角度、小腿等的倾斜度。并说明上段说法是否正确（可在一定误差下）。3、台阶运动对膝关节的影响爬楼梯属于负重运动，上下台阶时下肢各关节的运动幅度、关节负荷以及肌肉活动等均与在平地上静止、行走有差异，膝关节起主要承重和缓冲作用。有资料显示，正常人在爬楼梯时膝关节承受的压力会在瞬间增加3倍。即，一位体重为70公斤的人在爬楼梯时其两侧膝关节所承受的压力则高达280公斤。同时，爬楼梯速度越快，膝关节承受的压力就越大。考察台阶：长90cm、宽28cm、高18cm，测试者：170cm、70kg，速度：96步/分。试建立数学模型，分析上下台阶时，胫股关节接触力与上下楼梯时腿部动作、速度等的关系。分析上下楼梯是否有差异、上下楼梯最大膝关节压力各是多少、平均膝关节压力各是多少。并说明上段说法是否正确。4、运动对膝关节的影响若时间容许的话，请选取步行（例如快步走）、武术（例如太极拳）、球类（例如篮球）、田径（例如跳远）等一个或多个运动项目，对运动对膝关节的影响进行进一步讨论。2.问题分析2.1问题1分析对峰力矩的影响因素及其影响大小。这可以看成是多元回归模型。我们先用插值法处理了数据中的异常数据，求出每个变量相对于峰力矩的相关性。发现年龄，身高，左右腿，峰力矩角度与峰力矩相关性不强，将其从回归中剔除。同时用Excel散点图发现在不同的角速度下峰力矩的变化趋势几乎一致，说明角速度对峰力矩的影响不受其他因素的干扰，故先分析一种速度下其他因素对峰力矩的影响。最后加入角速度因素并对模型进行优化。2.2问题2求出膝关节最大受力的情况。这可以看成是优化模型，并且运用了力学受力原理。可以将人体简化为三段轻杆（小腿，大腿，躯干）和2个节点(膝关节，腰)的受力模型。3通过受力分析建立方程，用LINGO求解。2.3问题3分析膝盖在上楼下楼时所受的压力。可以看成是优化模型，运用力学受力原理，延用问题2的假设，以一步为周期，建立有关力学模型，用LINGO求解。2.4问题4分析人体在举重时胫骨关节的受力和人体产生的支撑力的关系。做定性分析，延用问题2的假设，建立有关力学模型，求出表达式。3模型假设1)假设统计的数据真实有效，与现实无偏差；2)假设实验对象除了给出的变量以外其他情况完全相同；3）人体在力学研究中简化为大腿，躯干，小腿三部分，股，膝为两处折点；4）人体在力学研究中质量均匀分布，重心在经过脚的与地面垂直的线上；5）人体在上下楼运动中完成一个周期后的姿势不变；6）人体重心在上下阶梯换承力腿时瞬间转移到承力腿上。4符号说明1234567,,,,,,xxxxxxx：性别，年龄，身高，体重，左右腿，伸屈膝，峰力矩角度：运动角速度y：峰力矩值,,abc：分别表示躯干，大腿，小腿的长度1a：躯干在重心线左边的长度2a：躯干在重心线右边的长度：小腿与地面夹角：大腿与水平面的夹角：躯干与水平面夹角F：膝盖所受到的压力1F：肌力2F：重力1l：肌力的力臂2l：重力的力臂1N：大腿对膝关节的拉力42N：小腿对膝关节的拉力d：膝关节的受力宽度m：人体质量g：重力加速度：上楼运动中年小腿与竖直面夹角0：上楼初始状态时小腿与竖直面夹角：下楼运动中小腿与竖直面夹角t：下楼末状态时小腿与竖直面夹角h：台阶的高度k：台阶的宽度v：人体运动速度'G：支撑力0mg：举重时的物重dx：举重时膝关节水平方向上的位移dy：举重时主动力'G的虚位移dr：举重时主动力12,NN的虚位移N：经股关节所受的横向力恒力xN：经股关节所受的横向力变力，12,NN在X方向上的合力0s：人体脚掌长度s：改进后重心线与后跟接触点距离5模型建立与求解5.1问题一模型的建立和求解5.11数据处理根据分析，文件data1中出现三个异常值，分别为M8缺失（第一位测试者在右膝屈膝情况下第二次测得300º/s峰力矩），K29缺失（第二位测试者在左膝伸膝情况下第三次测得180º/s峰力矩），H74数值异常（第四位测试者右膝伸膝情况下的第四次静止5130º峰力矩）。对于缺失数据，用插值法进行修正，取相同情况下测试的其他几组数据的平均值作为修正数据，修正后的结果分别为66.47（M8）,112.70(K29)；对于异常数据（7777.72）直接修正为（77.72）。为求结果的精确，将每位测试者4种情况（左腿伸膝，左腿屈膝，右腿伸膝，右腿屈膝）下测试的五组数据取其平均值作为最终数据。5.12模型建立和求解峰力矩受到多个变量的影响，适用于多元回归模型。首先用Excle软件绘制不同角速度下的峰力矩折线图（图1）。图1不同角速度下的峰力矩折线图分析发现角速度对于峰力矩的影响不受其他变量的干扰，曲线变化趋势基本一致。故在分析其他变量对峰力矩的影响时可以逐个分析每一个角速度下的影响。然后用Excel2013版中correl(arrange1,arrange2)函数求出每个变量对应的相关系数，分析每个变量在不同角速度下与峰力矩的相联性，结果如下表（表1）所示。相关系数性别x1年龄x2身高x3体重x4左右脚x5伸屈膝x6角度x7静止0.5904-0.06020.42170.5012-0.0400.5309600.5437-0.06780.37870.51340.01010.5687-0.39361800.5525-0.07250.37470.54860.09210.52150.22393000.5941-0.06750.42180.514920.07390.307170.3438表1变量与峰力矩的相关性表分析发现年龄，身高，左右脚与峰力矩相关性过弱，不将其作为模型的有效变量。而峰力矩力矩角度是指力矩曲线中，峰力矩所对应的角度，是作为测试系统自带的观测指标，不能作为独立的自变量进行处理，且相关性分析结果偏小，故也不作为有效变量。剩下的有效变量x1性别，x3身高，x4体重，x5伸屈膝在不同的速度下与峰力矩的相关性大致相同，证明原假设（角速度对于峰力矩的影响不受其他变量的干扰）成立。对其也做相关性分析，R值为-0.499155736，呈现较强的负相关，也是有效变量。对剩下的变量性别，体重，伸屈膝和角速度建立多元回归模型如下01124364yxxx6其中分别为性别，体重，伸屈膝和角速度。通过MATLAB求解,程序见附录1.算法如下：（1）利用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解回归方程；（2）利用MATLAB统计工具箱中的命令rcoplot作出残差图；（3）利用MATLAB编程剔除残差异常点重复（1）（2）步骤，直到残差正常，此时得到回归方程；求解结果见下表（表2）01234值-19.6304-25.58021.742928.0193-0.1470置信区间[-34.4241-4.8368][22.455928.7046][1.48332.0026][25.065930.9727][-0.1598-0.1342]表2第一次回归结果表2R=0.7335F=370.8149P=0.0000残差图见下图（图2）图2第一次回归残差图图中红色数据点为残差异常点，将其剔除后再回归，结果见下表（表3）01234值-0.6125-22.78571.29571.2957-0.1279置信区间[-4.2375-3.0124][20.861324.7100][1.22471.3667]