第六章晶体中电子在外场中的运动

第六章晶体中电子在外场中的运动当外场施加到晶体上，晶体中的电子不但要感受到晶体周期场，还会感受外场的作用。通常外场要比晶体周期场弱得多。晶体周期场一般强度尺度为V/Å。这相当于108V/cm。外电场很难达到这个强度。因而，晶体中电子在外场中的运动可以在周期场本征态的基础上进行讨论。采用的方法有两种：解含外场的波动方程在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理。通常情况下，解含外场的波动方程只能得到近似解。()222UVEmψψ⎡⎤−∇++=⎢⎥⎣⎦hr含外场的波动方程另一种方法是在外场较弱、恒定，不考虑电子在不同能带间的跃迁，不考虑电子的衍射、干涉及碰撞等条件下，把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理。§6.1Bloch电子的准经典运动一、Bolch电子的速度①Bloch电子波包和速度在晶体中，电子的准经典运动可以用Bloch函数组成的波包描述。由于波包中含有能量不同的本征态，因此，必须用含时间的Bloch函数。()()0kkuxux≈对于一确定的k，含时的Bloch函数为()()(),ikxtkkxteuxωψ−=()()/kEkω=h首先考虑于一维情况。设波包由以k0为中心，在Δk的范围内的波函数组成，并假设Δk很小，可近似认为波包()()()0202,kkkikxtkkxteuxdkωΔΔ+−−Ψ=∫()()02002kkkikxtkkuxedkωΔΔ+−−≈∫令0kkξ=+()00kdkdkωωωξ⎛⎞≈+⎜⎟⎝⎠()()()000022,expkkikxtkkdxtuxeixtddkωωξξΔΔ−−⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎞Ψ=−⎢⎥⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭∫()()(){}()0000022sinkikxtkkkddkddkxtuxextωωω−Δ⎡⎤−⎣⎦=⋅−()()0kkuxux≈为分析波包的运动，只需分析⎢Ψ⎪2，即几率分布即可。()()()()()000222222sin,kkkkddkkddkxtxtuxkxtωωΔΔ⎧⎫⎡⎤−⎪⎪⎣⎦Ψ=Δ⎨⎬⎡⎤−⎪⎪⎣⎦⎩⎭令0kdwxtdkω⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠w2kπΔ2kπ−Δ0222sinkkwwΔΔ波函数集中在尺度为的范围内，波包中心为：w＝0。2kπΔ波包稳定性条件：w=const.则粒子的速度为()001kdxdEvkdtdk⎛⎞==⎜⎟⎝⎠h()()Ekkω=h推广到三维情况，电子速度为)(1)(kEknknvhvv∇=υ（波包的群速度）将Bloch波函数代入薛定谔方程得：)()()()(12)(22ruRruwithrurUkimruHknkkkkvvvvwwhvv=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∇=考虑En(k+q)的展开式：∑+∂∂+=+iiinnnqoqkEkEqkE)()()(2vvv另一方面：22221ˆˆqmkiqmHHkqkhvvh+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∇⋅+=+②晶格中电子平均速度令：222'0'021ˆˆˆˆˆˆqmkiqmHHHHHHkhvvh+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∇⋅==+=考虑到：nnEHψψ00ˆ=...ˆ0+′+=∫∗nnnHrdEEψψv则有：比较)()()()(12)(22ruRruwithrurUkimruHknkkkkvvvvwwhvv=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∇=注意到：∑+∂∂+=+iiinnnqoqkEkEqkE)()()(2vvv和...ˆ0+′+=∫∗nnnHrdEEψψv只考虑到q的一次项有：∑∫∑⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∇=∂∂∗inkiinkiinuqkimurdkEvhv12因此：∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∇=∂∂∗nknknukiurdmkEvvhv12将Bloch函数代入上式得：∫∇=∂∂∗nknknimrdkEψψhvhv1∫∂∂=∇∗kEimrdnnknkvhhv11ψψ由于(1/m)(h/i)∇是速度算符，所以kEnvh∂∂1代表晶体中以Bloch描述的电子的平均速度。)(1)(kEknknvhvv∇=υ这个公式表达了一个非常重要的事实，那就是尽管存在电子和离子的相互作用，（因为这个相互作用，晶体中的电子用Bloch波描述），晶体中电子的平均速度并不随时间变化，也就是说可以一直流动下去而不衰减。晶体中电子速度的一般表述：电子速度的方向为k空间中能量梯度的方向，即垂直于等能面。因此，电子的运动方向决定于等能面的形状，在一般情况下，在k空间中，等能面并不是球面，因此，v的方向一般并不是k的方向，只有当等能面为球面，或在某些特殊方向上，v才与k的方向相同。电子运动速度的大小与k的关系0dEdk=E(k)v(k)以一维为例。在能带底和能带顶，E(k)取极值，因此，在能带底和能带顶，电子速度v＝0。220dEdk=而在能带中的某处，电子速度的数值昀大。二、电子的准动量在外场中，电子所受的力为F，在dt时间内，外场对电子所做的功为F⋅vdt根据功能原理，有dtdEEd⋅==∇⋅kFvk1E=∇hkvdtkkEdkkEdE•⋅∇=⋅∇=)()(另一方面，有比较两式，可得ddt∴=hkF上式是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式，具有与经典力学中牛顿定律相似的形式。hk——电子的准动量准动量不是严格意义上的Bloch电子的动量，严格意义上的动量的变化率等于作用在电子上面所有力的和，而准动量的变化率只是外场力作用的结果，这里没有包括晶格势场作用力。晶格势场的作用被包含在准动量中。晶格动量----电子准动量对于自由电子，k=p/h就是电子的动量。)())((ruiekrueiinkrkinknkrkinkvhvhvhhvvvv∇+=∇=∇⋅⋅ψψ对于晶体周期场中的电子用Bloch波描述，动量算符作用下：)()(rkeirirkivvhhwhvvψψ=∇=∇⋅这表明Bloch波不是动量算符的本征函数。在晶体周期场中，hk是动量概念的扩展，称为准动量或电子晶格动量。Sommerfeld电子和Bloch电子比较SommerfeldBloch量子数k(hk是动量)k,n(hk是晶格动量，n为能带指标)能量E(k)=h2k2/2mEn(k)，一般没有简单形式速度v=hk/m=1/h(∂E/∂k)vn(k)=1/h(∂En(k)/∂k)波函数平面波ψk(r)=(V)-1/2exp(ikr)Bloch波ψnk(r)=exp(ikr)unk(r)unk(r)一般没有简单的形式unk(r+R)=unk(r)三、电子的加速度和有效质量晶体中电子运动的准经典模型为，外场用经典方式处理，晶体周期场用能带论的处理，电子位置用Bloch波包的中心位置代替（因为在量子力学里无法同时确定电子的位置和动量值，但可以同时确定一个波包的中心位置和平均动量）。运动的基本关系式：此外，假定能带指标n是运动常数，即电子总是呆在同一能带中，忽略电子在能带之间的跃迁。[]),()(),()(1)(trBktrEeFdtkdkEkrnnknvvvvvvvvhvhvv&v×+−==∇==υυ从电子运动的基本关系式可以直接导出在外力作用下电子的加速度。1.一维情况()2222211dEdkdvddEdkdEFadtdtdkdtdk⎛⎞==⋅=⋅=⎜⎟⎝⎠hhh引入电子的有效质量：222dEdkm∗=hdvFmdt∗=有由于周期场中电子的能量E(k)与k的函数关系不是抛物线关系，因此，电子的有效质量m*与k有关。在能带底，220dEdk在能带底，E(k)取极小值，这时，m*0；在能带顶，E(k)取极大值，220dEdk所以，m*0。2.三维情况11dddEEdtdtdt⎛⎞==∇=⋅∇∇⎜⎟⎝⎠hhkkkvka其分量形式为3111dkdvdEEadtdtkdtkkβααβαβα=⎛⎞⎛⎞∂∂∂===⋅⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎝⎠∑hh23211EFkkββαβ=∂=⋅∂∂∑hα＝1,2,3矩阵形式22222222222221xxyxzxxyyyxyyzzzzxzyzEEEkkkkkvFEEEvFkkkkkvFEEEkkkkk⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎛⎞⎛⎞⎢⎥∂∂∂⎜⎟⎜⎟⎢⎥=⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦&&h&与牛顿定律1m=&vF相比可知，现在是用一个二阶张量代替了1m222222222222211xxyxzyxyyzzxzyzEEEkkkkkEEEmkkkkkEEEkkkkk∗⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎡⎤⎢⎥=⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦h称为倒有效质量张量。由于微商可以交换顺序，倒有效质量张量是一个对称张量。同时，晶体的点群对称性也会使张量的独立分量减少，对于各向同性晶体，它退化为一个标量。由于倒有效质量张量是对称张量，如将kx、ky、kz取为张量的主轴方向，就可将其对角化。222222210000111000010000xxyyzzEkmEmkmEmk∗∗∗∗⎡⎤⎡⎤∂⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎣⎦h这时有1,xxxdvFdtm∗=1,yyydvFdtm∗=1zzzdvFdtm∗=有效质量的作用在于它概括了晶体内部周期场作用，（把这个作用用有效质量代替），使我们能够简单地由外场力确定电子的加速度。需要注意电子的加速度方向并不一定与外场力的方向一致，这是由倒有效质量张量的性质所决定的。Bloch电子在外场中的运动，可视为质量为m*、速度为Vn(k)的粒子在电磁场中的运动，且遵从经典力学规律准粒子例：求简单立方晶体s态电子的有效质量。()()012coscoscossxyzEJJkakakaε=−−++k2212cos0aJkaEkkααβ⎧∂=⎨∂∂⎩α=βα≠βα,β=1,2,3即kx,ky,kz为张量的主轴方向，由此可得()2212122cos2xxxEkmkaaJ−∗∂∂==hh()2212122cos2yyyEkmkaaJ−∗∂∂==hh()2212122cos2zzzEkmkaaJ−∗∂∂==hh这表明有效质量的三个主分量均与J1成反比，若原子间距越大，J1越小，则有效质量就越大。在能带底Γ点：k=(0,0,0)，22102xyzmmmmaJ∗∗∗∗====h这时有效质量张量退化为一个标量。22100000200xxxmmmaJm∗∗∗∗⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦h在能带顶R点：,,aaaπππ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠k22102xyzmmmmaJ∗∗∗∗====−h这表明，在能带底和能带顶电子的有效质量是各向同性的，退化为一标量，这是立方对称的结果。在X点：,0,0aπ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠k2210,2xmaJ∗=−h22102yzmmaJ∗∗==h有效质量是一个很重要的概念，它把晶体中电子准经典运动的加速度与外力联系起来。★有效质量中包含了周期场对电子的作用。在一般情况下，有效质量是一个张量，在特殊情况下也可以退化为标量。有效质量不仅可以取正，也可以取负。★在能带底附近，有效质量总是正的；而在能带顶附近，有效质量总是负的。这是因为在能带底和能带顶E(k)分别取极大值和极小值，分别具有正的和负的二价微商。§6.2在恒定电场作用下电子的运动一维紧束缚近似：()012cosiiEkJJkaε=−−εi为某原子能级。设J10，则k＝0点为能带底；k＝±π/a为能带顶。()112sindEaJvkkadk==hh2221222cosdEdkmaJka∗==hh在能带底k=0和能带顶k=±π/a处，电子速度v(k)=0；而在k=±π/2a处，v(k)分别为极大和极小。0π/a-π/aE(k)π/2a-π/2a0π/a-π/av(k)0π/a-π/am*(k)一、在k空间中的运动图象若沿-x方向加一恒定电场Ε，有F=eΕ沿+x方向。由F=ħdk/dt=eΕ，得dk/dt=eΕ/ħ=const.这表明电子在k空间中做匀速运动。在准经典运动中，电子在同一能带中运动。因此，电子在k空间中的匀速运动意味着电子的能量本征值沿E(k)函数曲线周期性变化，即电子在k空间中做循环运动。电子在