概率论与数理统计-期末试卷及答案

1华中师范大学2010--2011学年第一学期_____专业___级《概率统计》期末试卷（A）考试形式：（闭卷）考试时间---------监考老师：---------一、填空题（共20分，每小题2分）1．设,7.0)(,6.0)(BPAPBA,独立，则)(ABP0.28.2．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，最大号码为4的概率是0.3.3．设随机变量X服从泊松分布，且)2()1(XPXP，则)4(XP232e.4.设随机变量服从1.02.07.0301PX，则)(XE_-0.4,)(XD1.44.5.若)9,3(~NX，则}6|{|XP=131(用标准正态分布函数表示).6.设随机变量X的密度函数为000)(21xxkexfx,则k0.5,)2(XP0.7.设随机变量X的数学期望EX，方差2DX，则由切比雪夫不等式有)5(XP____2524_______.8.设An是n次独立试验中事件A发生的次数，p为A在每次试验中发生的概率，则对任意的0，有pnnPAnlim0.9．若总体),0(~2NX，621,,,XXX是来自X的样本，令统计量26542321)()(XXXXXXY，则当c2312时，cY服从2分布，自由度为2.10.设总体X的均值已知，方差2未知.nXXX,,,21为来自X的一个样本,niiXC122)(ˆ为2的无偏估计，则C=__n1___.二、选择题（共10分，每小题2分）1、设随机变量X在4,2上服从均匀分布，则43XP（B）A.5.25.1XPB.25.325.2XPC.5.45.3XPD.5.55.4XP2、设相互独立的随机变量YX,具有同一分布，且X的分布律为（A）212121PX令YXZ,max，则1ZP（）.A.41B.21C.31D.13、如果X和Y满足YXDYXD，则必有（B）A.X与Y独立B.X与Y不相关C.0YDD.0YDXD4、设1,2,2,3,4为来自均匀分布总体),0(U的样本值，则未知参数的最大似然估计为（C）A.1.2B.-1C.4D.2.45、设总体),(~2X，,2均未知,现从中抽取容量为n的样本，2,SX分别为样本均值和样本方差，则的置信水平为1的置信区间为（A）A.))1(),1((2/2/ntnSXntnSXB.))1(),1((2/2/nznSXnznSX班级：姓名：学号：.O…………O…………O…………O装………O订………O线…………O…………O………………………O………………………2C.))1(),1((2/2/ntnXntnXD.))1(),1((2/2/nznXnznX三、计算及证明（共60分，每小题10分）1、设某地区应届初中毕业生有70%报考普通高中，20%报考中专，10%报考职业高中，录取率分别为90%，75%，85%，试求：（1）随机调查学生，他如愿以偿的概率；（2）若某位学生按志愿被录取了，那么他报考普通高中的概率是多少？解：A表示该学生被录取，1B表示该生报考普通高中，2B表示该生报考中专，3B表示该生报考职业高中.(1)865.031iiiBAPBPAP（5分）(2)7283.0111APBAPBPABP（5分）2、证明题：若随机变量2,~NX，则XZ1,0~N.解法一：XZ的分布函数为dtexXPxXPxZPxt22221（5分）令ux，得xduexZPxu2221所以XZ1,0~N.（5分）解法二：令xxg，则xg在,上严格单调递增其反函数为zzh，zh，,z（4分）XZ的密度函数为22121zXZezhzhfzf所以XZ1,0~N.（6分）3、已知随机变量YX,的联合分布律为XY-101-18181810810811818181试求：（1）XD，YD，YX,cov（2）问YX,是否相关，是否独立。解：(1)X与Y的边缘分布律分别为838283101PX838283101PY0YEXE0XYE8622YEXE86YDXD（3分）0,covYEXEXYEYX（3分）（2）0,covYX，从而0XY所以X与Y不相关.又}1{}1{}1,1{YPXPYXP，故二者不独立。（4分）34、已知YX,的联合密度函数为其它00,yxAxeyxfy，求：①常数A；②2YXP；③边缘密度函数xfX,yfY.解、①由dxdyyxf,10xydxdyAxe得到1A（3分）②2YXP102xxydxdyxedx102dxxexexx2121ee（3分）③显然，当0x时，0xfX，当0x时，dyyxfxfX,xydyxexxe即xfX000xxxex（2分）同理，可得yfY000221yyeyy（2分）5、规定某种药液每瓶容量的为毫升，实际灌装时其量总有一定的波动。假定灌装量的方差2＝1，每箱装36瓶，试求一箱中各瓶的平均灌装量与规定值相差不超过0.3毫升的概率？（结果请用标准正态分布函数表示）解：记一箱中36瓶药液的灌装量为3621,,,XXX，它们是来自均值为，方差2＝1的总体的样本。本题要求的是事件|－|≤0.3的概率。根据定理的结果，PnnnPP3.03.03.03.03.0）（）（nn3.03.0（6分）13.02）（n=218.1）（（4分）6、设总体X的密度函数为eleswherexxxf,010,1其中0，为未知参数.nXXX,,,21为总体的一个样本，nxxx,,,21为一相应的样本值,求未知参数的矩估计量和最大似然估计量.解：矩估计：11011dxxx.由此得2111.令XA11，得的矩估计量为21ˆXX.（5分）最大似然估计：设nxxx,,,21是一个样本值.似然函数为11211niinniixxLniixL1ln1ln2ln令0ln212ln1niixnLdd得的最大似然估计值为212lnˆniixn得的最大似然估计量为212lnˆniiXn（5分）4四、应用题（共10分，每小题10分）某厂用自动包装机装箱，额定标准为每箱重100kg，设每箱质量服从正态分布，15.1，某日开工后，随机抽取10箱，称得质量(kg)为5.101,9.100,8.99,8.100,2.102,7.98,6.99,0.101,9.98,3.99现取显著水平05.0，试检验下面假设100:0H，100:1H是否成立.（附:96.1,645.1025.005.0ZZ,,2622.2)9(,8331.1)9(025.005.0tt,8125.1)10(05.0t2281.2)10(025.0t)解：检验假设100:0H，100:1H检验统计量1,0~0NnXZ（3分）显著性水平05.0，查表可得96.12z拒绝域为96.12zz（3分）经计算得样本均值是27.100x检验统计量的值为724.10nXz（2分）所以，在显著性水平05.0下，接受原假设，表明这天包装机正常工作。（2分）