s平面和z平面之间的映射

14.1s平面和z平面之间的映射4.2稳定性分析4.3稳态误差分析4.4时域特性分析4.5频域特性分析4.6应用实例24.1.1s平面和z平面的基本映射关系s平面与z平面映射关系：sTzesjcossinjTeTjT是2的周期函数注意到故有()(2)(2)jTTjTTjTkTzeeeeeeTk复变量z的模及相角与复变量s的实部和虚部的关系||TRzezT图4-1s平面与z平面()jTTjTTzeeeeT3s平面和z平面的具体映射关系1.s平面虚轴的映射s平面整个虚轴映射为z平面单位圆，左半平面任一点映射在z平面单位圆内，右半平面任一点映射在单位圆外。sjzRTReT表4-1s平面与z平面关系几何位置几何位置虚轴=0任意值单位圆周=1任意值左半平面0任意值单位圆内1任意值右半平面0任意值单位圆外1任意值4s平面和z平面的具体映射关系2.角频率ω与z平面相角θ关系s平面上频率相差采样频率整数倍的所有点，映射到z平面上同一点。每当ω变化一个ωs时，z平面相角θ变化2π，即转了1周。若ω在s平面虚轴上从-∞变化到+∞时，z平面上相角将转无穷多圈。22()()sTkkTkTT2ss2s2ss2s4224表4-2角频率与z平面相角θ关系…0……0…5s平面和z平面的具体映射关系3.s平面上的主带与旁带22ss主带（任意变化）s平面上被分成了许多平行带子，其宽度为s图4-2主带映射图4-3旁带映射6s平面和z平面的具体映射关系4.s平面主带的映射图4-5s平面主带左半平面的映射图4-6s平面主带右半平面的映射74.1.2s平面上等值线在z平面的映射1.s平面实轴平行线（即等频率线）的映射2.s平面虚轴平行线（即等衰减率线）的映射图4-7等频率线的映射图4-8等衰减率线的映射84.1.2s平面上等值线在z平面的映射3.s平面上等阻尼比轨迹的映射Matlab命令coscotsjj映射至z平面cot||TTzeezT相关公式图4-9阻尼比线及其映射94.1.2s平面上等值线在z平面的映射4.s平面上等自然频率轨迹的映射所以s平面sincosjnnnsje1cot(/)z平面coscosnnTTsTzeeecos,sinnTnRezT图4-10等自然频率轨迹映射10114.1s平面和z平面之间的映射4.2稳定性分析4.3稳态误差分析4.4时域特性分析4.5频域特性分析4.6应用实例124.2.1离散系统的稳定条件•连续系统稳定的充要条件:–特征根全部位于s域左半平面•离散系统稳定的充要条件:–特征根全部位于z平面单位圆中134.2.2稳定性的检测1.直接求取特征方程根–缺点是难于分析系统参数的影响432()1.20.070.30.080zzzzzMatlab命令c=[1-1.20.070.3-0.08];r=roots(c)r=-0.50000.80000.50000.4000系统稳定1122(1)()1.30.41()(1)()100xkxkukxkxk例4-2已知例4-3已知F=[-1.3-0.410];g=eig(F)Matlab命令g=-0.8000-0.5000系统稳定142.朱利代数稳定判据1011()0nnnnzazazaza0,0,,0,0,000000mlcba10(/)nkaa0211212021nnnnnnaaaaaaaaaaaa—）0211211201nnnnnbbbbbbbbbb210(/)nkbb—）—）—）02122340nnnncccccccc320(/)nkcc0101llll10(/)nkll0m系统稳定条件1niniibaak15系统稳定必要条件判断系统稳定性步骤：(1)判断必要条件是否成立，若不成立则系统不稳定。(2)若必要条件成立，构造朱利表。1011()0nnnnzazazaza或者11()0(1)()0znzzz(1)0(1)(1)0n16二阶系统稳定性条件212()0zzaza(1)0(1)0121aa221)11aaa必要条件：构造朱利表：2210a2||1a|(0)|1|(0)|1(1)0(1)0充分必要条件：221a174.2.3采样周期与系统稳定性例4-5已知一采样系统的开环传递函数采样周期是采样系统的一个重要参数，它的大小影响特征方程的系数，从而对闭环系统的稳定性有明显的影响。10110(1)()(1)(0.11)TTkkeGzzZssze系统的特征方程1010()(1)0TTzzkee讨论采样周期对系统稳定性的影响。解：系统稳定要求特征根位于单位圆内1010|(1)|1TTeke10101[(1)]1TTeke1010(1)/(1)TTkee1k1T11k0.1T12.165k0.01T120k结论：当采样周期T，使系统稳定的k值范围增大。当k=2时，采样周期必须小于0.10986，系统才能稳定18采样周期与系统稳定性结论：(1)离散系统的稳定性比连续系统差体现在使系统稳定的k值：连续系统的k值范围大于离散系统的k值范围。(2)采样周期也是影响稳定性的重要参数，一般来说，T减小，系统稳定性增强。194.1s平面和z平面之间的映射4.2稳定性分析4.3稳态误差分析4.4时域特性分析4.5频域特性分析4.6应用实例204.3.1离散系统稳态误差定义单位反馈系统误差定义)(lim)(lim)()()()(******kTetetetctrtektss()()()etrtctlim()ssteet连续系统：离散系统：214.3.2离散系统稳态误差的计算•给定R(z)情况下的离散系统稳态误差的计算：()1()()1()()eEzzRzDzGz1()()()()1()()eEzzRzRzDzGz*11111lim(1)()lim(1)()1()()sszzezEzzRzDzGz与输入信号R(z)及系统结构特性均有关*sse()()DzGz22划分系统•连续系统——按其开环传函中所含的积分环节的个数来划分012()5kGss()(2)kGsss2()()kGsssa——0型——I型——II型•离散系统——按其开环传函中所含的环节的个数来划分)1(z(0.2)()0.5kzGzz(0.4)()(1)(0.2)kzGzzz2(0.6)()(1)(0.8)kzGzzz23()1()rtt1()1/(1)Rzz*1111111lim(1)lim1()()(1)1()()sszzezDzGzzDzGz1111lim()()1pzDzGzK1lim()()pzKDzGz称为稳态位置误差系数对“0”型系统，在z=1处无极点,Kp为有限值()()DzGz对“I”型系统，在z=1处有1个极点,1.指令信号作用下的稳态误差计算()()DzGz,0pssKe若输入为阶跃信号，对单位反馈系统，系统无稳态误差的条件是系统前向通道中至少含有1个积分环节。(1)输入信号为单位阶跃函数24()rtt2()(1)TzRzz*1211lim(1)1()()(1)sszTzezDzGzz1lim(1)(1)()()zTzzDzGz111/1lim(1)()()vzKzDzGzT11lim(1)()()vzKzDzGzT称为稳态速度误差系数对“0”型系统，在z=1处无极点,()()DzGz对“I”型系统，在z=1处有1个极点,()()DzGz1.指令信号作用下的稳态误差计算0,vssKe1,vssvKeK常值对“II”型系统，在z=1处有2个极点,()()DzGz,0vssKe(2)输入信号为单位斜坡信号2521()2rtt称为稳态加速度误差系数对“0”型系统，在z=1处无极点,()()DzGz对“I”型系统，在z=1处有1个极点,()()DzGz0,assKe1,assaKeK常值对“II”型系统，在z=1处有2个极点,()()DzGz23(1)()2(1)TzzRzz2*1311(1)lim(1)1()()2(1)sszTzzezDzGzz22111/1lim(1)()()azKzDzGzT2211lim(1)()()azKzDzGzT0,assKe1.指令信号作用下的稳态误差计算(3)输入信号为单位加速度信号26误差系数连续系统离散系统pKvKaK0lim()()sDsGs0lim()()ssDsGs20lim()()ssDsGs1lim()()zDzGz11lim(1)()()zzDzGzT2211lim(1)()()zzDzGzT*sse()1()rtt()rtt21()2rtt1/(1)pK1/vK1/aK0型系统I型系统0II型系统00离散系统稳态误差离散及连续系统稳态误差系数27关于稳态误差的说明（1）计算稳态误差前提条件是系统稳定。（2）稳态误差为无限大并不等于系统不稳定，它只表明该系统不能跟踪所输入的信号。（3）上面讨论的稳态误差只是系统原理性误差，只与系统结构和外部输入有关，与元器件精度无关。282.干扰作用下的离散系统稳态误差•系统中的干扰是一种非有用信号，由它引起的输出完全是系统的误差。误差完全由干扰n(t)引起，此时有()()netct1()()1()()NNGzCzDzGz据终值定理，可求出系统在干扰作用下采样时刻的稳态误差*1111lim(1)()lim(1)()ssNNzzezEzzCz294.3.3采样周期对稳态误差的影响•对具有零阶保持器的采样系统而言，稳态误差的计算与T无关，只与系统的类型、输入信号的形式有关。1)(zzskZzG22)1()(zTzskZzG)(lim1zGKzp)(lim1zGKzpTzGzTKzv1)()1(lim11)()1(lim11zGzTKzv0)()1(lim1212zGzTKzaTzGzTKza1)()1(lim1212D/A本身就是一个ZOH以下为针对不具有ZOH的采样系统的计算。304.1s平面和z平面之间的映射4.2稳定性分析4.3稳态误差分析4.4时域特性分析4.5频域特性分析4.6应用实例314.4.1离散系统动态特性指标的提法及限制条件动态特性主要是用系统在单位阶跃输入信号作用下的响应特性来描述。超调量上升时间峰值时间调节时间图4-16系统阶跃响应的采样图4-15系统阶跃响应特性324.4.2极点与零点位置与时间响应的关系1．极点位于实轴()iizGzczp()kiickcp图4-17z平面极点分布与脉冲响应（实极点）33例4-7已知数字滤波器30.126()(1)(0.55)(0.6)(0.65)zDzzzzz30.126()()()(1)(0.55)(0.6)(0.65)1zzCzDzRzzzzzz312110.550.60.65czczczAzBzzzzz