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自旋霍爾效應之簡介Introductionofspin-Halleffectmetallinearnanowires王律堯國立交通大學電子物理系會訊49期SEP2009‧14‧一、前言：一般元件的應用是利用材料中電荷(電子或電洞)相關的傳輸現象,但是隨著科學的日新月異，人類已經開始利用電子的另一個自由度：自旋(spin)。自旋是電子與生俱來的一個角動量，從解相對論性的狄拉克方程式(Dirac’sequation)得到的電子波函數很自然就包含電子自旋的部份,透過對電子自旋的操控,也為理論與應用科學開啟另一扇大門，尤其是AlbertFert和PeterGruenberg(兩位教授為2007年諾貝爾物理獎得主)發現了巨磁阻(GMR)材料，也讓自旋相關的傳輸現象開始被廣泛應用。除了金屬性的GMR材料，由於半導體產業的蓬勃發展，在半導體材料中我們也可以利用自旋軌道耦合(spin-orbitcoupling)來操控電子的自旋傳輸，其主要的優點是可以方式將有興趣的材料拉長8，然後短暫的利用電性的方式來操控自旋；由於自旋電子學(spintronics)的發展，許多應用已經被實現，例如：應用在磁碟儲存、記憶體等；將來甚至運用電子自旋可以讓量子電腦被實現1。本文將著重簡介在半導體材料中的自旋軌道偶合交互作用所引起的自旋霍爾效應，希望引起讀者對自旋電子學的興趣。二、自旋軌道耦合與自旋霍爾效應:所謂電子自旋軌道耦合(spin-orbitcoupling),簡稱SOC，是指電子的「自旋角動量」與「軌道角動量」的交互作用結果。電子在真空中，SOC的交互作用HSO可以表示為：σλσKK=KKK=⋅−=×∇⋅=LdrdVrPVcmHvacSO1)(4220；其中,V(r)是空間中的位能變化，m0為自由電子質量，σG表示Pauli矩陣向量，LG是軌道角動量，常數63.7210vacλ−=−×Å2，因此在真空中我們長可忽略電子SOC效應；但電子在半導體摘要：自旋電子學一直是現代科學與工業應用相當重視的一個領域，利用操控電子自旋可以對新一代的元件發展以及儲存技術有重大的突破；在半導體材料中，電子自旋軌道耦合提供一個可能的方式讓我們可以操控電子自旋的傳輸行為，而其中很重要的一個現象就是「自旋霍爾效應」，它提供一個簡單的物理機制去利用縱向的電流去產生橫向的自旋流，我們這邊討論的內稟自旋霍爾效應是由半導體材料中的自旋軌道耦合所造成的現象，希望藉此可以讓我們對於操控電子自旋有更近一步的認識。會訊49期SEP2009‧15‧材料中的SOC交互作用為σλKK=⋅−LdrdVrsemi1，此一常數semiλ卻遠比真空中的值大許多，例如：在InAs中120semiλ=Å2，在GaAs中5.3semiλ=Å2。這是因為電子在真空中的能量尺度為MeVcm5.0~20,但是在半導體中能量尺度為能隙(energygap)eVEg1~，兩者有數量級的差異。由以上的簡單物理圖像我們可以理解：電子運動感受到空間位能的變化就會產生SOC的交互作用，一般而言，SOC可以區分為兩大類：(一)外稟(extrinsic)的SOC，它是由外來重雜質的位能變化所引起的；(二)內稟(intrinsic)的SOC，它是由材料本身結構所引起的。在本文中,我們將著重探討內稟(intrinsic)的SOC效應。內稟自旋軌道耦合可以用σKK⋅ph來表示，phG為SOC之等效磁場，表示電子以動量pG運動時，自旋極化方向會傾向能量較低的狀態也就是平行於ph−G的方向，內稟SOC可分為兩種：(i)Rashba形式的SOC,是由於結構反轉不對稱(structureinversionasymmetry)所引起的一種自旋軌道偶合,()(),,xyppyxhhppαα=−,α我們在這裡稱做Rashba-SOC耦合係數；(ii)Dresselhaus形式的SOC,是由於塊材反轉不對稱(bulkinversionasymmetry)所引起,它的等效磁場形式可以被表示為()()()()2222,,xyppxyyxhhppppβκβκ=−−，β是Dresselhaus-SOC耦合係數。以上的SOC等效磁場關係式告訴我們，對於Rashba-SOC電子的自旋方向是垂直於電子運動方向；Dresselhaus-SOC電子的自旋方向是平行於電子運動方向。一般霍爾效應(Halleffect)是指在二維條狀樣品中外加一個垂直樣品的磁場zBG，在傳輸方向外加電場xEG時，正負電荷會往相反的y方向移動(圖1a)。而自旋霍爾效應(spin-Halleffect)，簡稱SHE，是指在無外加磁場的狀況下,通一電場xEG，注入一非極化的電流(unpolarizedcurrent)，自旋向上與自旋向下的電子會往相反的方向移動(圖1b)，然而往上和往下走電荷數目相等，因此並不會有淨電流在y方向上流動；SHE主要成因是材料中的SOC造成的。圖1：(a)霍爾效應:有外加磁場,V0；(b)自旋霍爾效應:對一束未極化的入射電荷流且無外加磁場,V=0。對於SHE的解釋，J.Sinova提出一個物理圖像說明Rashba-SOC在彈道傳輸範疇(ballisticregime)的例子2：當平衡時(t=0)，電子的自旋垂直於電子運動方向會訊49期SEP2009‧16‧(圖2a)；當外加電場xEG打開至時間t0，費米面會被位移，綠色箭頭表示電子動量方向，等效磁場是垂直於電子動量，紅色箭頭代表電子自旋方向，原來電子(t=0)自旋的方向會傾向於平行於新的等效磁場而轉動(procession)，不難看出在yp+與yp−方向電子自旋繞等效磁場方向相反，使得往+y與-y方向的電子會有不同的z方向自旋極化；因此我們可以得到一個普適的自旋霍爾電導常數：/8sHeσπ==。在平衡態時，內稟SOC所造成的等效磁場會使電子自旋方向躺在二維的平面上，但是在非平衡態(non-equilibrium)時，一個外加的電場卻可以引起z方向極化的電子自旋。圖2：Rashba-SOC外加電場產生SHE。三、自旋擴散的傳輸行為:然而，近幾年的理論研究指出，對於有雜質的樣品，我們必須考慮雜質對SHE的影響，因此我們要考慮擴散範疇(diffusiveregime)，就是自旋轉動一圈所走的距離(spinprocessionlength)：lso遠大於電子平均自由路徑(meanfreepath)le，這個理論給我們一個驚訝的結果，那就是證實了對於動量線性相關(linear-momentumdependent)的SOC系統(例如:Rashba-SOC)，雜質貢獻的霍爾電導剛好為sHσ−，剛好完全抵銷樣品本身SOC所造成自旋霍爾電導sHσ的貢獻3，在這種情形下就沒有SHE發生（0totalsHσ=）。因為在考慮非線性動量相關的SOC下，像是Dresselhau-SOC，即使在考慮雜質散射的擴散範疇下，結果顯示SHE仍然會存在；接下來我們將用自旋的擴散方程(spindiffusionequation)來了解在Rashba-SOC和Dresselhaus-SOC下的自旋行為。要推導自旋擴散方程在電場下的表示式，我們需要利用一些非平衡的格林函數(nonequilibriumGreen’sfunction)技巧，但這些數學我們不在本文一一詳敘，我們有興趣的是自旋擴散方程式的每一項對應的物理圖像，我們考慮一個簡單系統如圖1b，外加一電場xEG，因為x-方向具有平移不變性，因此Rashba-SOC的自旋擴散方程為：()()()222222000xxxxbyzyyybyyzyyzyybzzzyyzDSSyDSSRSSSyyDSRSSSyy∂−Γ=∂∂∂−+−Γ−=∂∂∂∂+−−Γ=∂∂………………………………(A)Dresselhaus-SOC的自旋擴散方程為：()()()222222000bxzyxxbxxzxxyyyyzxybzzzxxzDSSRSSSyyDSSyDSRSSSyy∂∂−+−Γ−=∂∂∂−Γ=∂∂∂+−−Γ=∂∂………………………………(B)其中擴散係數2/2FDvτ=(Fv費米速度，τ雜質彈性散射時間)，自旋繞著等效會訊49期SEP2009‧17‧SOC磁場轉動(precession)的相關係數為ln4ilminmpFnRhvτε=∑，上橫線符號表示對動量做角度平均的意思。自旋弛豫率為()24ijililppphnnτδΓ=−，單位向量ˆ/||pppnhh=GG，表示電子碰撞雜質改變運動方向，導致等效SOC磁場也改變，自旋會傾向於繞著新磁場轉動，碰撞很多次會使自旋弛豫。000/2biiSMD=為塊材自旋密度(與空間座標無關的一個常數)，正比於外加電場強度和SOC耦合係數，其中自旋與電荷耦合(spin-chargecoupling)項為)/(4330pnhMippiKK∂∂⋅∇=τ，此項表示外加電場對自旋產生交互作用，與外加電場有關的量0002xDNeEx=−(N0是費米態密度)4。很明顯從方程式(A)、(B)可以得到對Rashba-SOC而言，0xS=；對Dresselhaus-SOC而言，0yS=。接下來的問題是在邊界時，自旋密度iS應該滿足什麼樣的邊界條件？為了簡化問題方便探討物理，我們考慮無限高位能障的邊界條件(hard-wallboundarycondition)，意即在邊界/2yw=±自旋流(spincurrent)為零。一般自旋流是一個非守恆量(不同於電荷量守恆，因為自旋會弛豫、轉動)，它的定義很困難，但是這裡，我們的方法是從「自旋密度」出發，自旋密度是一個可以觀測的真實物理量，所以我們自旋流定義是以非平衡的自旋密度出發，只要自旋密度不均勻就會有自旋流產生；當穩定態達到時，因為邊界將不會在有自旋流，否則自旋密度會在邊界發散掉(一直有自旋注入到邊界)！對於Rashba-SOC自旋流為()/2/2/2/22=020yzyyzydydzyybizzyysHydydDSRSyDSRSSIyδ=±=±=±=±∂−−∂∂−−−+=∂…………………………………(C)Dresselhaus-SOC自旋流為()()/2/2/2/22020bxzyxxzydydzxybizzxxsHydydDSSRSyDSRSSIyδ=±=±=±=±∂−−−=∂∂−−−+=∂…………………………………(D)其中我們有一項自旋霍爾流為()()208/zjybysHjxFpxpzIRSeENvhphτ=+∂∂×JJGJJG。在方程式(3)中，我們發現對Rashba-SOC而言0sHI=；所以結合方程式(A)和(C)，立刻得到自旋密度解為()(,,)0,,0bxyzySSSS=，所以明顯知道在擴散範疇下，對Rashba-SOC而言，沒有垂直二維平面的自旋密度產生，因此沒有自旋霍爾效應(因為0zS=)。反觀，在方程式(D)中，0sHI≠，所以結合方程式(B)和(D)，很容易看出0,bzxxSSS==，不是方程式的解；因此對Dresselhaus-SOC而言,解為()0,bzxxxSSSSy≠=+∆，這結果告訴我們對於非線性動量相關的SOC，的確存在自旋霍爾效應，即垂直平面的自旋分量堆積(spinaccumulations)在樣品邊緣。考慮GaAs樣品，等效質量為0.067m0，電子密度為15210×（1/m2），圖三橫軸表示y方向(垂直電場方向,以自旋轉動一圈所走距離為單位，即sol)，我們可以畫會訊49期SEP2009‧18‧出自旋密度zS在空間的分佈情形，邊緣在5y=±；很明顯看到在左右兩邊緣的自旋堆積是一正一負(極化方向相反)，樣品中間部分的zS幾乎為零，當然我們可以藉由調控電子密度來改變費米波向量kF的大小值，其中κ是由準二維電子氣的z方向上的厚度決定（約8310−×m）；藉由調整/Fkκ比例大小可以讓左、右兩邊界（y=-5,+5）的自旋密度相反。圖3：Sz對y的空間分布圖。四、結語:自旋霍爾效應(SHE)只是自旋理論與應用的其中一部分，不過其中包含很多有趣的物理