系统动力学

第7章系统动力学(SystemDynamics)•系统动力学原理•建模基本步骤•VensimPLE软件参考文献•王其藩.系统动力学.北京:清华大学出版社，1984,1988,1994.•都兴富.系统动力学原理及其应用.成都:西南财经大学出版社，1989.•徐建华.现代地理学中的数学方法.北京:中国高等教育出版社,2002.•CraigW.Kirkwood.SystemDynamicsMethods:AQuickIntroduction.•Vensim（Ventana®SimulationEnvironment）User’sGuideVersion5•系统动力学模型(SystemDynamics)被誉为实际系统的实验室，是美国麻省理工学院(MIT)福瑞斯特Forrester(JayW.Forrester)教授于1956年首创的一种运用结构、功能、历史相结合的方法，借助于计算机仿真而定量地研究非线性（Non-linearity）、多重反馈（Informationfeedback）、复杂时变（Dynamiccomplexity）系统的系统分析技术。可用于研究处理社会﹑经济﹑生态和生物等复杂系统问题，它可在宏观层次和微观层次上对复杂、多层次、多部门、非线性的大规模系统进行综合研究。WhatisSystemDynamics•Systemdynamicsisamethodologyforstudyingandmanagingcomplexfeedbacksystems,suchasonefindsinbusinessandothersocialsystems.Infactithasbeenusedtoaddresspracticallyeverysortoffeedbacksystem.Whilethewordsystemhasbeenappliedtoallsortsofsituations,feedbackisthedifferentiatingdescriptor（描述符）here.FeedbackreferstothesituationofXaffectingYandYinturnaffectingXperhapsthroughachainofcausesandeffects.OnecannotstudythelinkbetweenXandYand,independently,thelinkbetweenYandXandpredicthowthesystemwillbehave.Onlythestudyofthewholesystemasafeedbacksystemwillleadtocorrectresults.------•反馈（feedback）是控制系统的一种方法。它是把系统输出去的一部分信息（给定信息）作用于被控对象后产生的结果（真实信息）再返回给输入，并对系统的再输出产生影响的过程。系统所具有的这种功能和过程称之为系统反馈。系统动力学认为几乎所有人工的系统都是反馈系统。•动态(Dynamic)即系统动力学所包含的量是随时间变化的，能以时间为坐标的图形表示。譬如，人口的增长，就业人数的增减，城镇与农村的生活质量和物价的涨落等都是动态问题。学习定义动态问题的技巧是学习系统动力学的第一步。一、流体力学与系统动力学•古典流体力学是系统动力学的重要理论基础之一。流体力学是研究流体处于平衡和运动时的力学规律，以及这些规律在工程上的实际应用。系统动力学根据流体力学原理，把社会中流动的物质和信息比拟成流体力学中的流体，例如，水流，流体在自然界或者人造容器中流动，产生流、流速、积累(水平)、压力、延迟等现象。同样，系统动力学中也用流、流速、积累、压力、延迟等概念来描绘社会经济系统中物质和信息的流动，这就形成系统流体动力学。1．系统的流•系统动力学主要利用四种流来构成模型•物流•订货流•资金流•信息流2．水平（积累、状态）level•水平(积累)是系统的流的积累。例如，库存量、存款、人口、资源等都可作为水平变量。一个水平方程相当于—个容器，它积累变化的流速率。其流速有输入流速和输出流速，容器内的水平正是其输入流速与输出流速的差量的积累。库存LR1R2怎样计算水平变量？210)()(RRdttLdttLdtdLLimdt)()()(21RRdttLdttL用DT近似表示dt，上式写成)()()(21RRDTtLDTtL一阶差分方程，符号DT表示时间的差分，即两次计算之间时间间隔的长度。用K表示现在时刻，即现时的DT中正在计算的时点；J表示前一个DT中已计算过的时间点；L表示下一个DT中下次计算的时间点；JK表示从J到K的时间间隔；KL表示从K到L的时间间隔。DTDTJJKKLLK于是继续写成：)..(*)(..21JKRJKRDTJLKL•式中L为水平变量；L.K为对现时刻K计算出的水平变量的新值；L.J为前时刻J的水平变量的值；DT是在时刻J和时刻K之间求解时间间隔的长度；R1.JK在JK时间间隔（区间）中流入水平变量L的流速；R2.JK是在JK时间间隔（区间）中流出水平变量L的流速。•式中，水平变量L的量纲是单位，L.K、L.J的量纲是单位，DT的量纲是时间度量单位，R1.JK、R2.JK的量纲是单位/时间度量单位。•因此，一个水平变量的新值等于它前一时刻的值加上或者减去JK时间间隔所产生的变化值。•这就是系统动力学的水平方程（Level方程）。•在一个水平方程中，可以有一个或者几个流入速率，也可以同时有一个或者几个流出速率。•水平方程实际是积分运算，用微积分符号可将上式写成：tdtRRLL0210)(3．速率(Rate)变量•速率(流速)(Rate)仍是系统中的流的流动速度，即系统中水平变量变化的强度。水平变量是系统活动结果的状态变量，而速率则是对水平变量变化过程及其控制的描述。•速率的基本形式有两种，流入速率和流出速率。•从速率的控制作用上说，速率变量，又可叫“控制变量”，“决策函数”、“政策变量”。•从流体力学的角度看，它是控制水流的“阀门”（Valve）。因此，在流图上，“速率”用阀门符号表示。InventorysalesproductioninventorycoveragePOPULATIONBIRTHDEATH速率是流入或者流出水平变量（容器）的流的瞬时速度，用微分形式可以表示为：速率方程的一般形式是：这个方程的右边表示与水平变量和常量有关的任何一种函数或者一种关系，它描述了控制速率变量的决策（政策）。)(.水平变量或者常量fKLR如何区别水平变量和速率变量？•同一个变量在系统动力学模型中往往可设为水平变量，也可设为速率变量，区别它们的原则是什么?显然，它们的量纲不同，水平变量的量纲是某物流或信息流的某种度量“单位”；速率的量纲是“水平变量的单位／时间单位”。但是，这不是识别它们的原则。识别它们要靠它们的本质上的区别。•速率是控制变量，当抑制作用不存在时，速率就不存在(为零)了。水平变量(积累变量)是流的积累，是过去速率控制作用结果的积累，是连续存在的，即使没有现时速率的控制作用，速率为零，也能观测到它们。例如，一个人虽然停止了生长，但他的高度、重量等水平变量并不会消失。—个工厂的各项活动虽然停止了，但工厂里工人、设备、资金等水平变量仍然存在，仍可观测到。•一个常用的速率方程是一阶指数延迟中的流出速率，它等于水平变量除以平均延迟。•式中，OUT为流出速率（出流率）；LEV为存贮于延迟中的水平（积累）；DEL为延迟常数，它代表经过延迟所需要的平均时间。DELKLEVKLOUT..4．延迟(Delay)•在复杂的社会经济系统中存在广泛的延迟(Delay)现象．即系统中的物流或信息流从它们的输入到它们的输出响应，总不可避免地有一段时间的延迟，这段时间就是延迟时间或延迟。•例如，从订货到收货，固定资产的投资到发挥经济效益，从下种到庄稼收获，从投入教育经费到人才的产出，从污染物散入环境到危害人类健康，等等部存在看一段或长或短的延迟时间，这些是物流的延迟。•同样信息流也存在延迟。如，商品供求关系的变化要经过一段时间才会引起商品价格的变动；产品质量影响工厂的声誉也需要一段时间。•延迟实际上是将系统中流入速率变为流出速率的—种转换过程。一个动态的流体系统通常是同一瞬间流入速度不等于流出速率，这就是说从这一输入到输出的过程中会有一种延迟传送的流量：当流入速率大于流出速率时，延迟传送的流量就增多；当流出速率大于流入速率时，延迟传送的流量就减少。•因此，延迟是一种特殊的水平变量，特殊的积累，延迟是一个“积累容器”、但它又不同于一般的水平变量。因为延迟的流出速率只受延迟时间的影响，与外界因素无关；而一般水平变量的流出速率除受本身的特性决定以外，还受外界因素的影响。•延迟可用水平方程和速率方程加以描述。•利用流体力学原理对系统动力学常用的几种延迟加以研究。•从延迟流的内容分，有物流延迟，信息流延迟；•从延迟形态分，主要有途中延迟、一阶指数延迟、二阶指数延迟、三阶指数延迟。•1）途中延迟输入流速经过某段时间之后以相等的大小输出，这种延迟就是图中延迟。途中延迟的水平变量（积累）=（平均延迟）·（输入流速）或(输入流速)2）一阶指数延迟•这里的“阶”是指流的通道中延迟水平（“容器”）的个数。“一阶”就是一个延迟水平。•“指数延迟”是说这种延迟具有指数（exponential）性质。一阶指数延迟的流出速率等于水平变量除以平均延迟：式中，OUT为流出速率（出流率）；LEV为存贮于延迟中的水平（积累）；DEL为延迟常数，它代表经过延迟所需要的平均时间。存贮于延迟中的水平Lev是作为入流和出流之差而积累起来的：式中，lev为存贮于延迟中的水平（单位量）；DT是方程逐次计算的求解区间；IN和OUT分别为入流率和出流率。)..(*..JKOUTJKINDTJLevKLevDELKLEVKLOUT..一个简单的疾病蔓延模型•三个水平变量：未患病者；患病者；康复者；•为分析需要，增加新的水平变量：INC处于潜伏期者，其输入速率为感染率INF，输出速率为疾病显现率SYMP。),.(1./..*)..(*..TSSJKINFDELAYKLSYMPRTSSTSSKINCKLSMYPRINFTSSINCNJKSYMPJKINFDTJINCKINCL可用下列方程替代：为潜伏期•DELAY1的结构：输入为INF感染率，输出为SYMP症候显现率•以DELAY1代替一组方程，使用方便，但缺点是隐含了一个水平变量INC，不能绘图和打印出来。3）DELAY3三阶延迟•假定潜伏期为三天，把处潜伏期的人口INC划分为三部分，INC1、INC2、INC3分别表示处于潜伏期第一天、2天和3天的人口•从INF到SYMP的延迟称为三阶指数物质延迟•自动在INF和SYMP之间产生三个隐含的水平变量•注意：一个DELAY3方程等效于3个水平变量方程、3个N方程和3个速率方程。),.(3.TSSJKINFDELAYKLSYMP•在某些情况下，既要用DELAY3的功能又要把隐含的水平变量显示出来，这是就需要DELAYP函数•式中，INC(处潜伏期人口)为三阶延迟函数中三个内部水平变量总和。•DELAYP不仅能输出INC，还能通过它计算其他变量。•一个DELAYP方程代表10个方程（3个水平变量、3个初始方程、3个速率方程、1个水平变量总和的辅助方程。）•辅助方程（Auxiliary）是帮助建立速率方程。).,,.(.KINCTSSJKINFDELAYPKLSYMPR二、控制论与系统动力学•控制论，尤其是信息控制理论是系统动力学又一重要的理论基础。•福菜斯特成功地把控制论的反馈理论、伺服机构等理论运用到社会经济系统中去，提出了信息反馈回路(环)的概念，建立了系统动力学。1．信息反馈系统•控制论系统可以划分为开环系统和闭环系统。闭环系统又叫信息反馈系统。•如果系