4刍甍、羡除、刍童及楔形四棱台的体积公式

刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式题1(2013年高考湖北卷文科第20题)如图1，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为121AAd．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为122BBd，123CCd，且123ddd.过AB，AC的中点M，N且与直线2AA平行的平面截多面体111222ABCABC所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．图1(1)证明：中截面DEFG是梯形；(2)在△ABC中，记BCa，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222ABCABC的体积V）时，可用近似公式VSh估中来估算.已知1231()3VdddS，试判断V估与V的大小关系，并加以证明.笔者关心的是：该题中的1231()3VdddS即)(61321dddahV是怎么来的呢？这由下面推导的羨除体积公式立得.题2(2002年高考北京卷文科第18题)如图2，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h..(1)求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角正切值；(2)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是6hV（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）图2题3(2002年高考北京卷理科第18题)如图3，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h..(1)求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；(2)证明：EF//面ABCD(3)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是6hV（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）图3笔者关心的是：高考题2,3中的6hV（S上底面+4S中截面+S下底面）即[(2)(2)]6hVacbcad是怎么来的呢？这由下面推导的刍童体积公式立得.《九章算术·商功》篇有部分题目涉及到刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式，这些公式秦汉时人都已掌握，下面来推导它们.1.刍甍刍甍是图4所示中的五面体ABCDEF，其中EFDCAB////，底面ABCD是平行四边形.设aAB，直线CDAB、之间的距离是h，直线EF与平面ABCD之间的距离是H，则其体积)2(6caHhV.图4证明如图5所示.设点FE,在面ABCD上的射影分别是点FE,.图5我们把平面ABCD分成三块区域：区域I指该平面位于直线AD左侧的部分(不包括直线AD)，区域II指该平面夹在直线BCAD、之间的部分(包括直线这两条直线)，区域III指该平面位于直线BC右侧的部分(不包括直线BC).应分六种情形来证明：(1)点FE,均位于区域I；(2)点E位于区域I，点F位于区域II；(3)点E位于区域I，点F位于区域III；(4)点FE,均位于区域II；(5)点E位于区域II，点F位于区域III；(6)点FE,均位于区域III.下面只对情形(5)予以证明：过点E作CDGH于H，交AB于G；过点F作CDIJ于I，交AB于J，得HEEhGH,，所以)(BJICAGHDFJIEGHVVVV四棱锥四棱锥直三棱柱)(32)(32GJIHABCDBJICAGHDSSHcHhSSHcHh)2(6)(32caHhchahHcHh证毕！2.羨除羨除是图6所示中的五面体ABCDEF，其中EFDCAB////，底面ABCD是梯形.设)(,babDCaAB，直线CDAB、之间的距离是h，直线EF与平面ABCD之间的距离是H，则其体积)(6cbaHhV.图6证明用补形法可证.图7如图7所示，延长CD至R，使RCAB，得刍甍ABCREF，由刍甍的体积公式，得)(62)(3)2(6cbaHhhbaHcaHhVVVADREABCREF三棱锥刍甍注羨除的体积公式是由刍甍的体积公式推得的；当羨除的下底面梯形变成平行四边形时(即图4所示中的ba时的情形)，羨除就变成了刍甍，也得刍甍的体积公式是羨除的体积公式的极限情形.3.刍童刍童是图8所示中的六面体DCBAABCD，其中面//ABCD面DCBA，底面ABCD、底面DCBA均是平行四边形.设bBAaAB,，直线CDAB、之间的距离是h，DCBA、之间的距离是h，面DCBAABCD、之间的距离是H，则其体积])2()2[(6haahaaHV.图8证明如图9所示，可得面ABAB与平行平面DCBAABCD、的交线BAAB、平行,所以CDBA//.连结CBDA,.图9由刍甍的体积公式，得])2()2[(6haahaaHVVVDCBACDABCDAB刍甍刍甍注刍童的体积公式是由刍甍的体积公式推得的；当刍童的上底面平行四边形变成线段时(即图4所示中的0h时的情形)，刍童就变成了刍甍，也得刍甍的体积公式是刍童的体积公式的极限情形.4.楔形四棱台楔形四棱台是图10所示中的六面体DCBAABCD，其中面//ABCD面DCBA，底面ABCD、底面DCBA均是梯形.设bDCbBAbCDaAB,,,，面CDAB、之间的距离是h，DCBA、之间的距离是h，面DCBAABCD、之间的距离是H，则其体积])()[(6hbbahabaHV.图10图11证明如图11所示，可得CDBA//.连结CBDA,.由羨除的体积公式，得])()[(6hbbahabaHVVVDCBACDABCDAB羡除羡除注楔形四棱台的体积公式是由羨除的体积公式推得的；当楔形四棱台的上底面的梯形变成线段时(即图4中的0h时的情形)，楔形四棱台就变成了羨除，也得刍甍的体积公式是楔形四棱台的体积公式的极限情形.由刍甍的体积公式可推得羨除、刍童、楔形四棱台的体积公式，由楔形四棱台的体积公式也可推得刍甍的体积公式.题4(1999年高考全国卷文科、理科第10题)如图12所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，23,//EFABEF，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()A.29B.5C.6D.215图12解D.由刍甍的体积公式可得.题5(2007年全国高中数学联赛江苏赛区复赛第一试第9题)如图13，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为3的正方形，3//,2EFABEF.若该多面体的体积为152，则EF与AC的距离为.图13解2.设直线EF与平面AC的距离为H，由刍甍的体积公式可得153323262H2H进而可得：异面直线,EFAC的距离为2H.题6(2005年高考全国卷I理科第4题即文科第5题)如图14，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为()A.32B.33C.34D.23图14解A.设棱,ADBC的中点分别是,ST，在等腰梯形EFTS中可得31,2,2STEFESFT，可求得该等腰梯形的高即直线EF与平面ABCD的距离22H.所以由刍甍的体积公式可得多面体ABCDEF的体积为2122(212)63.题7(1983年美国邀请赛题)图15中的多面体的底面是边长为s的正方形，上面的棱平行于底面，其长为s2，其余棱长也都为s，若26s，求这个多面体的体积.图15解288.由刍甍的体积公式可得(先算得sH22).在该题中，当1s时就是高考题2.