高中物理：第11届全国物理决赛

第十一届全国中学生物理竞赛决赛试题一、照相机镜头L前2.28米处的物体被清晰地成像在镜头后面12.0厘米处的照相胶片P上，今将一折射率为1.50、厚AB＝0.90厘米、两面平行的玻璃平板插入镜头与胶片之间，与光轴垂直，位置如图所示，设照相机镜头可看作一个简单薄凸透镜，光线为近轴光线。1．求插入玻璃板后，像的新位置。2．如果保持镜头、玻璃板、胶片三者间距离不变，并要求物体仍然清晰地成像于胶片上，则物体应放在何处？二、1964年制成了世界上第一盏用海浪发电的航标灯，它的气室示意图如图所示，利用海浪上下起伏的力量，空气能被吸进来，压缩后再推入工作室，推动涡轮机带动发电机发电，当海水下降时，阀门K1关闭，K2打开，设每次吸入压强为1.0×105帕、温度为7℃的空气0.233米3（空气可视为理想气体），当海水上升时，K2关闭，海水推动活塞绝热压缩空气，空气压强达到32×105帕时，阀门K1才打开，K1打开后，活塞继续推动空气，直到气体全部被推入工作室为止，同时工作室的空气推动涡轮机工作，设打开K1后，活塞附近的压强近似保持不变，活塞的质量及活塞与筒壁间的摩擦忽略不计。问海水每次上升时所做功是多少？已知空气从压强为p1、体积为V1的状态绝热地改变到压强为p2、体积为V2的状态过程中，近似遵循关系式p1p2＝（V2V1）5/3，1摩尔理想气体温度升高1K时，内能改变为32R（R＝8.31焦耳/摩尔·开）。三、如图所示，一质量为0.10千克、电量为8×10-4库的带正电小球，从水平地面上A点以与X轴正方向成30°夹角的初速度v0抛出（v0在XOY竖直平面内），当达到最高点B时（B点恰好处在OY轴上），在全空间立刻产生一个匀强电场E，场强为2.50×103牛顿/库，方向平行于XOY平面，并与X轴负方向成θ夹角。当带电小球再次通过OY轴时，匀强电场立刻消失，试分析讨论当θ角变化时（0≤θ≤180°），带电小球自B点以后的运动情况，并画出带电小球在各种情况下的运动轨迹简图（g＝10米/秒2）。0.90cmBA12.0cm8.0cmLPK2K1发电机工作室涡轮空气海水EYBAOθ30°v0X四、长方形风筝如图所示，其宽度a＝40厘米，长度b＝50厘米，质量M＝200克（其中包括以细绳吊挂的纸球“尾巴”的质量Mʹ＝20克，纸球可当作质点），AO、BO、CO为三根绑绳，AO＝BO，C为底边中点，绑绳及放风筝的牵绳均不可伸缩，质量不计，放风筝时，设地面风速为零，牵绳保持水平拉紧状态，且放风筝者以速度V持牵绳奔跑时，风筝单位面积所受的空气作用力垂直于风筝表面，量值为P＝kvsinα，k＝8牛顿·秒/米3，α为风筝表面与水平面的夹角，风筝表面为光滑平面，各处所受空气作用力近似认为相等，取g＝10米/秒2，放飞场地为足够大的水平地面。试求：1．放风筝者至少应以多大的速度持牵绳奔跑，风筝才能作水平飞行？这时风筝面与水平面的夹角应为何值？假设通过调整绑绳长度可使风筝面与水平面成任意角度α。2．若放风筝者持牵绳奔跑的速度v＝3米/秒，调整绑绳CO的长度等于b，为了使风筝能水平稳定飞行，AO与BO的长度应等于多少？五、如图所示为称作“电子张弛振荡器”的电路图。图中Sc是恒流源（其电流不因负载的变化而变化），电流值为I0。S是电子开关，它的开、关动作由一个正弦信号发生器F产生的电压UF(t)＝U1＋U0sinωt来控制，这里U1为常电压值，U0和ω分别是正弦信号的幅度和圆频率，U0＜U1。UF只起控制S动作的作用，不对电容C充放电，当S两端电压（即电容器两端电压）U（t）达到UF（t）时，S自动合上，使电容C放电，U（t）迅速下降，至下降到Umin时，S才自动断开，这里Umin是指小于U1－U0的常电压值。1．分析电容器两端电压U随时间t的变化规律，并在U-t图上画出UF（t）、Umin和U随t的变化曲线，可以不考虑t＝0时是如何情况。2．若在一定的I0、U1、U0、ω、Umin参数值下，U（t）每相邻两次达到UF（t）的时间间隔都相等，求每次U（t）＝UF（t）时，U（t）数值与各参数的关系。六、如图所示，在倾角为φ的足够大粗糙斜面上，有一质点，质量为m，用一弹性绳栓住，绳的另一端固定在斜面上Oʹ点，弹性绳的形变与弹性力服从胡克定律，绳原长为L，劲度系数（即倔强系数）为k，斜面与质点间的静摩擦系数为μ，试确定质点在斜面上可静止的区域并画出此区域边界的示意图。M′αCbaBAOmO′φSSI0C图决11-25第十一届决赛试题解答一、解法1：1.折射率为n，厚度为d的两面平行的玻璃板，对于会聚在像点'P的傍轴光束的折射作用可如下求出：如图11-29，取任一指向'P点的傍轴光线'CP，此光线经平行玻璃板折射的光路为''CDEP，在平板第一面的入射角i与折射角r均为小角度，反向延长''EP交D点处的法线于F。容易看出'''PDFP为平行四边形。tgibtgrbDFPP//'''平行板厚度d为：tgrbd/，故)/1('''tgitgrdPP因为i与r都很小，所以nirtgitgr/1sin/sin/故得：)/11('''ndPP以上结果对任何会聚于'P点的傍轴光线均成立，所以向轴上'P点会聚的傍轴光束经平行玻璃板折射后会聚于轴上''P点，在这种情形下，平行玻璃板的作用是使像点向远离平板方向移动距离'''PP，由题给数据得：)5.1/11(9.0'''PPcm＝0.3cm故像成在镜头后面（12.0+0.3）cm＝12.3cm处2.设照相机镜头焦距为f，不放玻璃板时有：（1/228+1/12）cm-1＝1/f可得：f＝11.4cm插入玻璃板时，若要像仍在离镜头12cm处的胶片上，应改变物距使放玻璃板时成像在镜头后面v处，v＝（12.0-0.3）cm＝11.7cm设这时物距为u，则：1/u+1/（11.7cm）＝1/（11.4cm）得：45.4um即：物体置于镜头前4.45m时，插入玻璃平板后，仍可在胶片上得到清晰的像。解法2：1.对于玻璃板第一面上的折射，有物距：5.1,0.1,9.80nncmAP根据：01//nnAPAP（见图11-30）可得：)0.1/5.1()9.8(/·01nnAPAPcm＝13.35cm对于玻璃板第二面上折射（见图11-31），有物距：45.12)(11ABAPBPcm又根据：nnBPBP//012可得：)45.12()5.1/0.1()/(102BPnnBPcm＝8.3cm故像成在镜头后面的像距为：v＝（3.1+0.9+8.3）cm＝12.3cm比原像向后称动vv＝（12.3-12）cm＝0.3cm2.设照相机镜头焦距为f，不插入玻璃板时，)12/1228/1(/1fcm-1得：f＝11.4cm要使放上玻璃板后，像还成离镜头12cm处的胶片上，可采用光路可逆性原理从已知像P2的位置，求此时物体应在的位置。对于玻璃板第二面上的折射：已知：像距82BPcm，n＝1.50，n0＝1.0，设与之相应的物为P1，则可得：12)/(201BPnnBPcm对于玻璃板第一面上的折射：已知：像距AP1＝12.9cm，n＝1.5，n0＝1.0，设与之相应的物为P，则可得：10)/(APnnAP9.12)5.1/0.1(cm＝-8.6cm对于凸透镜，像距为v＝（8.6+3.1）cm＝11.7cm，则此时物距为u，则有：1/u+1/（11.7cm）＝1/（11.4cm）u＝4.45m即物体应放在照相机镜头前4.45m处，才能在胶片上得到清晰的像。二、海水作功可分为两个阶段来讨论1.绝热压缩阶段根据热力学第一定律，在绝热过程中海水对气体所作功等于气体内能的增量，即)()2/3(121TTRnUA由于在绝热过程中，压强和体积的变化遵循关系式3/51221)/(/VVpp以及理想气体状态方程nRTpV得到5/32112112212)/)(/(//ppppVpVpTT所以560)32()7273()/(5/25/21212KppTTK而10)7273(31.8233.0100.15RTpVnmol可得)280560(31.8)2/3(101AJ41049.3J2.根据题设把空气推入工作室时活塞附近压力不变，故222VplSpA其中S为活塞面积，l为活塞由气体体积是V2时之位置移到筒之上端的距离，而5/32112)/(ppVV则5/321122)/(ppVpAJ55/310)32/(1233.03241066.4J所以海水作总功为4211015.8AAA总J四、1.设人以速度V0持牵绳奔跑时，风筝恰能平行于地面飞行，此时牵绳平行于地面。设此时风筝表面与地面夹角为，则风力为：sin0abKVFcossin0abKVFy风筝水平飞行的条件为（见图11-40）2/2sincossin0abKV∴当045时sincos的极大值为1/2.把045代入（1）式，得V0之极小值；)cossin/(0KabMgV)5.05.04.08/(102.0m/s＝2.5m/s2.重新调整绑绳长度后，放飞者使牵绳平行于地面以V＝3m/s的速度奔跑，设此时风筝能保持水平飞行，则MgKVabcossin代入数值得：)5.04.038/(102.0/cossinKVabMg12/504.562或123.60，02018.61,2.28当V＝3m/s时，风力的水平分量为：2sinsinKVabFFx由力之平衡得牵绳张力为2sinKVabT分别代入1、2值，得：0212.28sin5.04.038TN＝1.07N0228.61sin5.04.038TN＝3.73N自O点至AB之中点D，连接一紧绳OD替代AO和BO，以风筝纸面中心'O为支点（如图11-41所示），则牵绳张力T和纸球所产生的力矩分别为：2/cos,''bgMMrTMMT由力矩的平衡'MTMM得：TgbMr2/cos'分别代入T1、1、T2、2值，得)07.12/(2.28cos501002.001rcm＝4.1cm)73.32/(8.61cos501002.002rcm＝0.63cm所以]2.28sin)2/50(1.4[sin20111brrcm＝15.9cm]8.61sin)2/50(63.0[sin20222brrcm＝22.6cm由图知：br/)sin(分别代入、r及b值得0166.9，029.34分别代入1、2值，可得)2/66.9sin(50201xcm＝8.4cm)2/9.34sin(50202xcm＝30cm由22)2/(axBOAO分别代入x1、x2值，可得22)2/40(4.8AOcm＝21.7cm或22)2/40(30AOcm＝36cm讨论：AO＝36cm有利于风筝起飞。分析与评述这是一道在风力作用下力的平衡和力矩的平衡问题，做此题首先要能经过分析看出调节绑绳的长度与力矩平衡的关系。另外，做此题时数学处理上要比较仔细，因为是三维的。