线性代数-第四五章向量组线性相关-秩-特征值特征向量

4.1节向量组及其线性组合定义：n个有序数a1，a2，…，an组成的有序数组（a1，a2，……，an）称为n维向量。其中，ai叫作向量的第i个分量。n称为向量的维数常用记号：αβγabc等等行向量：列向量：12,,,naaa12naaa4.1节向量组及其线性组合例1：123456行向量：123456列向量：123456一个m×n的矩阵每一行可看作是一个行向量，每一列可看作是一个列向量。反过来，维数相同的若干个行（列）向量可组成矩阵。4.1节向量组及其线性组合向量的运算：加法、数乘（同矩阵的运算定义相同）例2设求向量x。解：共有8条运算律（要求熟记）3x233,201,311xx320131132330131(1)314＝数乘向量),,,(,,21akakakakaknTT定义为简称数乘向量称为向量的数量乘法的乘积与向量数向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算，满足下列八条运算规则：;)1(加法交换律);()()2(加法结合律;,)3(O有对任一个向量;)(,,)4(O有存在负向量对任一个向量;1)5(;)()()6(kllk数乘结合律;)()7(kkk数乘分配律.)()8(lklk数乘分配律.,,,1,,,为零向量为数维向量为其中Olkn4.1节向量组及其线性组合定义：设有m个n维向量。若有一个向量β能写成如下形状：则称β是的线性组合。或称β可用向量组线性表示。12,,,m1122(1,2,,)mmiRim12,,,m12,,,m123(1).(100),(010),(001),(214)12324123(2).(123),(014),(236),(115)12324.1节向量组及其线性组合？向量β能否由向量组线性表示将各个向量写成矩阵的列的形式，构成一个矩阵：对上述得到的矩阵进行初等行变换，将它化为行最简形矩阵从得到的行最简形矩阵可判别能否线性表示，如果可以，还能求出相应的线性表示式行初等变换法求线性表示的步骤（P84定理1）：12,,,m12()m4.1节向量组及其线性组合例3设β能否由线性表示1021102110212131011301133465040800441021100101130102001100111231232(1)1232(1)对矩阵的初等行变换不改变列向量间的线性关系123(123),(014),(236),(115)****123123,，4.1节向量组及其线性组合例4设，问：β能否由线性表示12412412421305501111003403451110990991241000110100010010000001212(1215),(2111),(43011)－－***1212,β不能由线性表示。12,4.2节向量组的线性相关性定义：设有m个n维向量。若存在m个不全为零的数使得：则称线性相关。否则称线性无关。12,,,m1122(1)mmO12,,,m12,,,m12,,,m即：如果要使得（1）式成立，则必须取所有的系数为零，那么这组向量线性无关。4.2节向量组的线性相关性如果向量的个数大于向量的维数，则必线性相关如果向量的个数与向量的维数相等，可用行列式法判别如果向量的个数小于向量的维数，可用初等变换法将各个向量写成矩阵的列的形式，构成一个矩阵：对上述得到的矩阵求秩，若秩小于m，则向量组线性相关；若秩等于m，则向量组线性无关。判别一组向量线性相关或线性无关的方法（P88定理4）行列式等于零向量线性相关行列式不等于零向量线性无关12()m4.2节向量组的线性相关性例1设则由于该组向量的维数是2，而向量组有3个向量，故该向量组是线性相关。例2设判别该组向量是线性相关还是线性无关。解：123(111),(025),(247)102124157100122155＝22055＝＝所以该组向量线性相关。123(1-2),(35),(24)4.2节向量组的线性相关性例3设，问：该向量组是否线性相关？1241241242130550111100340345111099099124011001000123(1215),(2111),(43011)－－因为矩阵的秩为3，等于向量组的向量个数，故该向量组线性无关4.2节向量组的线性相关性定理1：一组向量线性相关的充分必要条件是这组向量中至少有一个向量可以用其余的向量线性表出。线性关系的几个定理定理2：设一组向量线性相关，则在这一组中再添加若干个向量得到的新向量组也线性相关。（部分相关则整体必相关）定理2的推论：设一组向量线性无关，则在这一组中任取若干个向量得到的新向量组也线性无关。（整体无关则部分必无关）注意：定理2及其推论的逆命题都不成立！4.3节向量组的秩定义：设有一组向量，如果在这组向量中选出r个向量，满足：（1）这r个向量线性无关；（2）从这组向量中任取r+1个向量都线性相关。则称这r个向量为该向量组的最大线性无关向量组（最大无关组）12,,,r12,,,r4.3节向量组的秩例：123(123),(114),(332)12(123),(114)线性相关线性无关则是该向量组的最大无关组12,13(123),(332)线性无关则也是该向量组的最大无关组13,向量组的最大无关组不一定唯一4.3节向量组的秩推论（等价定义）：设有一组n维向量，如果在这组向量中选出r个向量，满足：（1）这r个向量线性无关；（2）从这组向量中任取一个向量α添加进去，线性相关。则这r个向量便是该向量组的一个最大无关组12,,,r12,,,r12,,,,r4.3节向量组的秩定义：由单个零向量O组成的向量组，其不含最大无关组，故规定其秩为零。？如何求向量组的最大无关组和向量组的秩定义：向量组A的最大无关组所包含的向量个数，称为该向量组的秩，记为r(A)、rank（A）。4.3节向量组的秩例1设求该向量组的一个最大无关组，并求向量组的秩。解：1234(110),(242),(231),(352)1123143503121234112303120312112303120000则是该向量组的一个最大无关组，且向量组的秩等于212,4.3节向量组的秩将各个向量写成矩阵的列的形式，构成一个矩阵；对上述得到的矩阵进行初等行变换，将它化为行阶梯形矩阵；在得到的行阶梯形矩阵中选取每个非零行的第一个非零元所在的列对应的向量，即构成一个最大无关组。而其所含的个数即向量组的秩。但若还须求线性表示，则要化为行最简形矩阵行初等变换法求最大无关组和秩的步骤：4.3节向量组的秩例2设求一个最大无关组，并将其它向量用该最大无关组线性表示。解：1234(1131),(1113),(528-9)(1317)1-15-111-233-18113-9712341-15-102-7402-7404-1481-15-102-740000000031012-7012200000000则是该向量组的一个最大无关组，且向量组的秩等于212,312372241224.4节线性方程组的解的结构齐次线性方程组的解的结构齐次方程组的解的性质：性质1：设是齐次方程组的解向量，则也是齐次方程组的解向量。性质2：设是齐次方程组的解向量，k是任一常数，则也是齐次方程组的解向量。12,12＋0Ax0Axk命题：设是齐次方程组的解向量，则对任意一组实数，也是方程组的解向量12,,,k12,,,k1122kk1212120000AAAAA=0＋＋4.4节线性方程组的解的结构齐次线性方程组的解的结构定义：设是齐次方程组的一组解向量，且：（1）该组向量线性无关；（2）齐次方程组的任意一个解向量都可以用该组向量线性表示，即有：则称是齐次方程组的基础解系0Ax由定义可知，基础解系即为齐次方程组的解向量组的最大无关组12,,,s12,,,s定理：设齐次方程组的系数矩阵的秩r(A)=rn，则方程组有非零解且存在基础解系，使得方程组的每个解都是的线性组合。其中，s＝n－r。12,,,s12,,,s1122ssxkkk4.4节线性方程组的解的结构例1求方程组的解解：其中是该方程组的基础解系1234123412342202220430xxxxxxxxxxxx1212345232-431001xxxx该方程组的解为：5232-4,310014.4节线性方程组的解的结构例2求方程组的解解：其中是方程组的基础解系该方程组的解为：123453453452030220xxxxxxxxxxx123121245101001,(,)0001xxxRxx10100,100014.4节线性方程组的解的结构非齐次线性方程组的解的结构非齐次方程组的解的性质：性质1：设是非齐次方程组的解向量，则是对应的齐次方程组的解量。性质2：设是非齐次方程组的解向量，是对应齐次方程组的解向量，则也是非齐次方程组的解向量。12,12-Ax0AxAx0AxAx定理：设非齐次方程组的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等且都等于rn，是其一个解向量，设对应的齐次方程组有基础解系，则非齐次方程组的解可表示为：12,,,s1122ssixR1211220AAAAA=--4.4节线性方程组的解的结构例3求方程组的解解：该方程组的解为：对应齐次方程组的基础解系非齐次方程组的一个解（特解）1234123412343133445980xxxxxxxxxxxx12121234335-244371-,(,)244100010xxRxx4.4节线性方程组的解的结构例4求方程组的