(完整版)《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

1一、填空题（每小题3分，共15分）1．设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发BA,5.0)()(BPAPBA,生的概率为__________.答案：0.3解：3.0)(BABAP即)(25.0)()()()()()(3.0ABPABPBPABPAPBAPBAP所以1.0)(ABP.9.0)(1)()(ABPABPBAP2．设随机变量服从泊松分布，且，则______.X)2(4)1(XPXP)3(XP答案：161e解答：eXPeeXPXPXP2)2(,)1()0()1(2由知eee22)2(4)1(XPXP即0122解得，故1161)3(eXP3．设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率X)2,0(2XY)4,0(密度为_________.)(yfY答案：1,04,14()()()20,.YYXyyfyFyfyy其它解答：设的分布函数为的分布函数为，密度为则Y(),YFyX()XFx()Xfx2()()()()()()YXXFyPYyPXyPyXyFyFy因为，所以，即~(0,2)XU()0XFy()()YXFyFy故21,04,14()()()20,.YYXyyfyFyfyy其它另解在上函数严格单调，反函数为(0,2)2yx()hyy所以1,04,14()()20,.YXyyfyfyy其它4．设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，，则YX,2)1(eXP_________，=_________.}1),{min(YXP答案：，2-4{min(,)1}1ePXY解答：，故2(1)1(1)PXPXee2{min(,)1}1{min(,)1}PXYPXY1(1)(1)PXPY.41e5．设总体的概率密度为X.其它,0,10,)1()(xxxf1是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.nXXX,,,21X答案：1111lnniixn解答：似然函数为111(,,;)(1)(1)(,,)nnniniLxxxxx1lnln(1)lnniiLnx1lnln01niidLnxd@解似然方程得的极大似然估计为3.1111lnniixn二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是,,ABC,AB（A）若，则与也独立.()1PCACBC（B）若，则与也独立.()1PCACB（C）若，则与也独立.()0PCACB（D）若，则与也独立.（）CBAC答案：（D）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.事实上由图可见A与C不独立.2．设随机变量的分布函数为，则的值为~(0,1),XNX()x(||2)PX（A）.（B）.2[1(2)]2(2)1（C）.（D）.（）2(2)12(2)答案：（A）解答：所以~(0,1)XN(||2)1(||2)1(22)PXPXPX应选（A）.1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是XY（A）与独立.（B）.XY()DXYDXDY（C）.（D）.（）()DXYDXDY()DXYDXDYSABC4答案：（B）解答：由不相关的等价条件知，0yxcov0xy），（()+2covxyDXYDXDY（，）应选（B）.4．设离散型随机变量和的联合概率分布为XY(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183XYP若独立，则的值为,XY,（A）.（A）.21,9912,99（C）（D）.（）11,6651,18185答案：（A）解答：若独立则有,XY(2,2)(2)(2)PXYPXPY1121()()()3939，2919故应选（A）.5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中X12,,,,nXXXX正确的是（A）是的无偏估计量.（B）是的极大似然估计量.1X1X（C）是的相合（一致）估计量.（D）不是的估计量.（）1X1X答案：（A）解答：，所以是的无偏估计，应选（A）.1EX1X三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’A‘任取一产品确是合格品’B则（1）()()(|)()(|)PAPBPABPBPAB0.90.950.10.020.857.（2）.()0.90.95(|)0.9977()0.857PABPBAPA四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设为途中遇到红灯的次数，X求的分布列、分布函数、数学期望和方差.X1231111169183112331112918YX6解：的概率分布为X3323()()()0,1,2,3.55kkkPXkCk即01232754368125125125125XP的分布函数为X0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251,3.xxFxxxx263,55EX.231835525DX五、（10分）设二维随机变量在区域上服从(,)XY{(,)|0,0,1}Dxyxyxy均匀分布.求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概(,)XYXZXY率密度.解：（1）的概率密度为(,)XY2,(,)(,)0,.xyDfxy其它22,01()(,)0,Xxxfxfxydy其它（2）利用公式()(,)Zfzfxzxdx其中2,01,01(,)0,xzxxfxzx其它2,01,1.0,xxz其它.当或时0z1z()0Zfz时01z00()222zzZfzdxxzxzz=x1D01zxyx+y=1x+y=zD17故的概率密度为Z2,01,()0,Zzzfz其它.的分布函数为Z200,00,0,()()2,01,01,1,1.1,1zzZZzzfzfydyydyzzzzz或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1,1.ZDzFzPZzPXYzdxdyzz20,0,,01,1,1.zzzz2,01,()()0,ZZzzfzFz其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相XY互独立，且均服从分布.求（1）命中环形区域2(0,2)N22{(,)|12}Dxyxy的概率；（2）命中点到目标中心距离的数学期望.22ZXY解：（1）{,)}(,)DPXYDfxydxdy22222880111248xyrDedxdyerdrd；2221122888211()8rrredeee（2）22222281()8xyEZEXYxyedxdy2222880001184rrrerdrderdrxy0128.2228880021222rrrreedredr七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的2~(,)XN样本，测得样本均值，样本方差.（1）求的置信度为0.95的置信10x20.16s区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）.20:0.1H（附注）0.050.050.025(16)1.746,(15)1.753,(15)2.132,ttt2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.解：（1）的置信度为下的置信区间为1/2/2((1),(1))ssXtnXtnnn0.02510,0.4,16,0.05,(15)2.132Xsnt所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）的拒绝域为.20:0.1H22(1)n，2215151.6240.1S20.05(15)24.996因为，所以接受.220.052424.996(15)0H《概率论与数理统计》期末考试试题（A）专业、班级：姓名：学号：一、单项选择题(每题3分共18分)1．D2．A3．B4．A5．A6．B题号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得分9一、单项选择题(每题3分共18分)（1）.0)(,0)(;;0)(0)();(().,0)(ABPAP(D)BA(C)BPAP(B)BA(A)ABPBA则同时出现是不可能事件与或互不相容互斥与则以下说法正确的是适合、若事件（2）设随机变量X其概率分布为X-1012P0.20.30.10.4则（）。}5.1{XP(A)0.6(B)1(C)0(D)21（3）设事件与同时发生必导致事件发生，则下列结论正确的是（）1A2AA（A）（B）)()(21AAPAP1)()()(21APAPAP（C）（D）)()(21AAPAP1)()()(21APAPAP（4）).54,0);46,0();3,0();5,0(~,72,),1,2(~),1,3(~(D)N(C)N(B)N(A)ZYXZYXNYNX则令相互独与且设随机变量(N立).(10（5）设为正态总体的一个简单随机样本，其中nXXX,,2,1),(2N,2未知，则（）是一个统计量。(A)(B)212niiX21)(niiX(C)(D)XX（6）设样本来自总体未知。统计假设nXXX,,,2122),,(~NX为则所用统计量为（）。：已知）（：01000HH(A)(B)nXU0nSXT0(C)(D)222)1(SnniiX1222)(1二、填空题(每空3分共15分)（1）如果，则.)()(,0)(,0)(APBAPBPAP)(ABP（2）设随机变量的分布函数为X.0,)1(1,0,0)(xexxxFx则的密度函数，.X)(xf)2(XP（3）.ˆ,________,ˆ3ˆ2ˆˆ,ˆ,ˆ,ˆ321321是的无偏估计量也时当的无偏估计量是总体分布中参数设aa（4）设总体和相互独立,且都服从，是来自总体的XY)1,0(N921,,XXXX样本，是来自总体的样本，则统计量921,,YYYY292191YYXXU服从分布（要求给出自由度）。11二、填空题(每空3分共15分)1.2.,3.4.)(BP000)(xxxexfx23e1)9(t三、(6分)设相互独立，，，求.BA,7.0)(AP88