考研数学历年真题及解析

200112001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1)设12(sincos)xyecxcx(12,cc为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为(2)设222,rxyz则(1,2,2)()|divgradr(3)交换二次积分的积分次序：0112(,)ydyfxydx(4)设矩阵A满足2A40AE,其中E为单位矩阵，则1AE＝(5)设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计()2PXEX二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数()fx在定义域内可导，()yfx的图形如右图所示，则导函数()yfx的图形为()(2)设函数(,)fxy在点(0,0)附近有定义，且''(0,0)3,(0,0)1,xyff则()(A)(0,0)|3.dzdxdy(B)曲面(,)zfxy在点(0,0,(0,0))f的法向量为{3,1,1}.(C)曲线(,)0zfxyy在点(0,0,(0,0))f的切向量为{1,0,3}.(D)曲线(,)0zfxyy在点(0,0,f(0,0))的切向量为{3,0,1}.(3)设(0)0f，则()fx在点0x可导的充要条件为()20012(A)201lim(1cosh)hfh存在.(B)h01lim(1)hfeh存在.(C)201lim(sinh)hfhh存在.(D)01lim(2)()hfhfhh存在.(4)设1111400011110000,,1111000011110000AB则()(A)合同且相似.(B)合同但不相似.(C)不合同但相似.(D)不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n次，以XY和分别表示正面向上和反面向上的次数，则XY和的相关系数等于()(A)-1(B)0(C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctanxxedxe四、(本题满分6分)设函数(,)zfxy在点(1,1)处可微，且(1,1)(1,1)1,3,()(,(,)).ffxfxfxxx求31()xdxdx.五、(本题满分8分)设21arctan,0(),1,0xxxfxxx试将()fx展开成x的幂级数，并求级数21(1)14nnn的和.六、(本题满分7分)计算222222()(2)(3),LIyzdxzxdyxydz其中L是平面2xyz与柱面1xy的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向.七、(本题满分7分)设()yfx在(1,1)内具有二阶连续导数且()0,fx试证：(1)对于(−1,1)内的任意0x,存在唯一的()x∈(0,1)，使()(0)'()fxfxfxx成立；(2)01lim().2xx20013八、(本题满分8分)设有一高度为()ht(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程222()()()xyzhtht(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9)，问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时？九、(本题满分6分)设12,,,s为线性方程组0Ax的一个基础解系，1112221223121,,,,sstttttt其中12,tt为实常数.试问12,tt满足什么关系时，12,,,s也为0Ax的一个基础解系.十、(本题满分8分)已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组2,,xAxAx线性无关，且满足3232AxAxAx(1)记2,,,PxAxAx求2阶矩阵B,使1;APBP(2)计算行列式.AE十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X服从参数(0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为(01)PP，且途中下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；(2)二维随机变量(,)XY的概率分布.十二、(本题满分7分)设总体X服从证态分布2(,)(0),N从该总体中抽取简单随机样本122,,,(2)nXXXn，其样本均值为211,2niiXXn求统计量212niniiYXXX的数学期望()EY.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析20014一、填空题(1)【答案】220yyy.【详解】因为二阶常系数线性齐次微分方程0ypyqy的通解为12(sincos)xyecxcx时，则特征方程20rprq对应的两个根为一对共轭复根：1,2i，所以根据题设12(sincos)xyecxcx(12,cc为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，知：1,1，特征根为1,2i1,i从而对应的特征方程为：2(1)(1)220,ii于是所求二阶常系数线性齐次微分方程为220yyy.(2)【答案】2.3【分析】若,,rxyz具有连续的一阶偏导数，梯度gradr在直角坐标中的计算公式为：rrrgradrijkxyz设,,,,,,,,AxyzPxyziQxyzjRxyzk，其中,,PQR具有一阶连续偏导数，散度divA在直角坐标中的计算公式为：PQRdivAxyz若,,rxyz具有二阶连续偏导数，则在直角坐标中有计算公式：222222()rrrdivgradrxyz【详解】本题实际上是计算222222rrrxyzrx222xyzx22222xxyz222xxyzxr2001522rxxxr2rrxxr2xrxrxrxrr223rxr类似可得ryyr，22ry223ryr；rzzr，22rz223rzr根据定义有()divgradr222222rrrxyz222222333rxryrzrrr222233rxyzr2233rrr232rr2r2222xyz于是(1,2,2)()|divgradr2221,2,22xyz2222231(2)2(3)【答案】2110(,).xdxfxydy【详解】由题设二次积分的限，画出对应的积分区域，如图阴影部分.但在10y内，21y，题设的二次积分并不是(,)fxy在某区域上的二重积分，因此，应先将题设给的二次积分变形为：01021211(,)(,),yydyfxydxdyfxydx其中(,)10,12,Dxyyyx再由图所示，又可将D改写为(,)12,10,Dxyxxy于是0112(,)ydyfxydx0211(,)ydyfxydx2011(,)xdxfxydy2110(,).xdxfxydy(4)【答案】1(2).2AE【详解】要求()AE的逆，应努力把题中所给条件化成()AEBE的形式.由题设240AAE222AAEE22AEAEEOxyx+y=1x=2120016即12,2AEAEE故1122AEAE.(5)【答案】12【分析】切比雪夫不等式：2()()DXPXEX【详解】根据切比雪夫不等式有22()21()2222DXPXEX二、选择题(1)【答案】(D)【详解】从题设图形可见，在y轴的左侧，曲线()yfx是严格单调增加的，因此当0x时，一定有'()0fx，对应()yfx图形必在x轴的上方，由此可排除(A)，(C)；又()yfx的图形在y轴右侧靠近y轴部分是单调增，所以在这一段内一定有'()0fx，对应()yfx图形必在x轴的上方，进一步可排除(B)，故正确答案为(D).(2)【答案】(C)【详解】题目仅设函数(,)fxy在点(0,0)附近有定义及''(0,0)3,(0,0)1,xyff未设(,)fxy在点(0,0)可微，也没设(,)zfxy，所以谈不上dz，因此可立即排除(A)；令(,,)(,)Fxyzzfxy，则有''''',,1xxyyzFfFfF.因此过点(0,0,(0,0))f的法向量为''',,xyzFFF'',,1xyff±{−3,−1,1}，可排除(B)；20017曲线(,)0zfxyy可表示为参数形式：0,(,0)xxyzfx点(0,0,(0,0))f的切向量为'1,0,(0,0)1,0,3xf.故正确选项为(C).(3)【答案】(B)【详解】方法1：因为0001()()lim(1)1limlimln(1)ln(1)hhhxxfxfxxfeexhxxx0()ln(1)limxfxxxxxx00()0()lim0lim0xxfxffxfxx0f可见，若()fx在点0x可导，则极限01lim(1)hhfeh一定存在；反过来也成立.方法2：排除法：举反例说明(A)，(C)，(D)说明不成立.比如，()fxx,在0x处不可导，但2220001cos11coslim(1cos)limlimhhhhhfhhhh22012sin2limhhh2201112sinlim22hhhhh12，故排除(A)2200sin1lim(sin)limhhhhfhhhh30sinlimhhhhh其中，30sinlimhhhh30sinlimhhhh201coslim3hhh洛22012sin2lim3hhh22012lim3hhh等16根据有界量与无穷小的乘积为无穷小，所以30sinhlim0hhhh.故排除(C).又如1,0()0,0xfxx在0x处不可导，但00111lim(2)()lim0hhfhfhhh存在，进一步可排除(D).20018(4)【答案】(A)【详解】方法1：因为A是实对称矩阵，必相似于对角阵.1111111111111111EA44442,3,41111111111111行分别加到行111111111(4)111141111行提出公因子()11111000(4)000000行分别加到2,3,4行34()=0得A的特征值为：12344,0,故必存在正交矩阵Q,使得14000000000000000TQAQQAQ因此，AB与相似.由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵AB与合同的充要条件是AB与相似.因此，AB与也合同.即AB与既合同且相似.应选(A).方法2：因为A是实对称矩阵，故A必相似于一对角阵.又由相似矩阵有相同的特征值,相同的秩,知A与有相同的秩，故()()1,rrA即对角线上有3个元素为零.因此,1230是A的特征值.求另一个特征值，由特征值的和等于矩阵主对角线元素之和，知444114.iiiiia故，44.即A有特征值40和(三重