建立递阶结构模型的规范方法

2021年3月23日9时9分1（二）建立递阶结构模型的规范方法建立反映系统问题要素间层次关系的递阶结构模型，可在可达矩阵M的基础上进行，一般要经过区域划分、级位划分、骨架矩阵提取和多级递阶有向图绘制等四个阶段。这是建立递阶结构模型的基本方法。现以例3-1所示问题为例说明：与图3-5对应的可达矩阵（其中将Si简记为i）为：2021年3月23日9时9分2100001101110000010000011100001111000000011000000112345671234567M=2021年3月23日9时9分31.区域划分区域划分即将系统的构成要素集合S，分割成关于给定二元关系R的相互独立的区域的过程。首先以可达矩阵M为基础，划分与要素Si（i=1，2，…，n）相关联的系统要素的类型，并找出在整个系统（所有要素集合S）中有明显特征的要素。有关要素集合的定义如下：2021年3月23日9时9分4①可达集R（Si）——在可达矩阵或有向图中，由Si可到达的诸要素所构成的集合，其定义式为：R（Si）={Sj|Sj∈S，mij=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n②先行集A（Si）——在可达矩阵或有向图中，可到达Si的诸要素所构成的集合，其定义式为：A（Si）={Sj|Sj∈S，mji=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n③共同集C（Si）——R（Si）∩A（Si）其定义式为：C（Si）={Sj|Sj∈S，mij=1，mji=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n2021年3月23日9时9分5系统要素Si的可达集R（Si）、先行集A（Si）、共同集C（Si）之间的关系如图3-7所示：图3-7可达集、先行集、共同集关系示意图SiA（Si）C（Si）R（Si）2021年3月23日9时9分6④起始集B（S）——只影响（到达）其他要素的要素所构成的集合。B（S）中的要素在有向图中只有箭线流出，而无箭线流入，是系统的输入要素。其定义式为：B（S）={Si|Si∈S，C（Si）=A（Si），i=1，2，…，n}终止集E（S）——只受其他要素影响（到达）的要素所构成的集合。E（S）中的要素在有向图中只有箭线流入，而无箭线流出，是系统的输出要素。其定义式为：E（S）={Si|Si∈S，C（Si）=R（Si），i=1，2，…，n}要区分系统要素集合S是否可分割，只要研究系统起始集B（S）中的要素及其可达集（或系统终止集E（S）中的要素及其先行集要素）能否分割（是否相对独立）就行了。2021年3月23日9时9分7利用起始集B（S）判断区域能否划分的规则如下：在B（S）中任取两个要素bu、bv：①如果R（bu）∩R（bv）≠ψ（ψ为空集），则bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素属同一区域。若对所有u和v均有此结果（均不为空集），则区域不可分。②如果R（bu）∩R（bv）=ψ，则bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素不属同一区域，系统要素集合S至少可被划分为两个相对独立的区域。区域划分的结果可记为：∏（S）=P1，P2，…，Pk，…，Pm（其中Pk为第k个相对独立区域的要素集合）。经过区域划分后的可达矩阵为块对角矩阵（记作M（P））。2021年3月23日9时9分82.级位划分区域内的级位划分，即确定某区域内各要素所处层次地位的过程。这是建立多级递阶结构模型的关键工作。设P是由区域划分得到的某区域要素集合，若用L1，L2，…，Ll表示从高到低的各级要素集合（其中l为最大级位数），则级位划分的结果可写成：∏（P）=L1，L2，…，Ll•某系统要素集合的最高级要素即该系统的终止集要素。级位划分的基本做法是：找出整个系统要素集合的最高级要素（终止集要素）后，可将它们去掉，再求剩余要素集合的最高级要素，依次类推，直到确定出最低一级要素集合（即Ll）。2021年3月23日9时9分9这时的可达矩阵为：111011001111101110111000154631275463127M（L）=L1L2L3L1L2L300经过级位划分后的可达矩阵变为区域块三角矩阵，记为M（L）。2021年3月23日9时9分103.提取骨架矩阵提取骨架矩阵，是通过对M（L）的缩约和检出，建立起M（L）的最小实现矩阵，即骨架矩阵A’。缩检共分三步，即：①检查各层次中的强连接要素，建立可达矩阵M（L）的缩减矩阵M’（L）（区域下三角矩阵）：111011001111011001543127543127M’（L）=L1L2L3L1L2L3002021年3月23日9时9分11②去掉M’（L）中已具有邻接二元关系的要素间的越级二元关系，得到经进一步简化后的新矩阵M’’（L）。如在原例的M’（L）中，将M’（L）中3→5和7→1的“1”改为“0”，得：110011001110011001543127543127M’’（L）=L1L2L3L1L2L3002021年3月23日9时9分12010001000010001000543127543127A’=M’’（L）-I=L1L2L3L1L2L300③进一步去掉M’’（L）中自身到达的二元关系，即减去单位矩阵，将M’’（L）主对角线上的“1”全变为“0”，得到经简化后具有最小二元关系个数的骨架矩阵A’。如对原例有：2021年3月23日9时9分134.绘制多级递阶有向图D（A’）根据骨架矩阵A’，绘制出多级递阶有向图D（A’），即建立系统要素的递阶结构模型。绘图一般分为如下三步：1.分区域从上到下逐级排列系统构成要素。2.同级加入被删除的与某要素有强连接关系的要素，及表征它们相互关系的有向弧。3.按A’所示的邻接二元关系，用级间有向弧连接成有向图D（A’）。2021年3月23日9时9分14原例的递阶结构模型：以可达矩阵M为基础，以矩阵变换为主线的递阶结构模型的建立过程：M→M（P）→M（L）→M’（L）→M’’（L）→A’→D（A’）S1S2S7S3S4S5S6第1级第2级第3级区域划分级位划分强连接要素缩减剔除越级关系去掉自身关系绘图（块对角）（区域块三角）（区域下三角）结束2021年3月23日9时9分15“建立递阶结构模型的规范方法”结束2021年3月23日9时9分16例3-1某系统由七个要素（S1，S2，…，S7）组成。经过两两判断认为：S2影响S1、S3影响S4、S4影响S5、S7影响S2、S4和S6相互影响。这样，该系统的基本结构可用要素集合S和二元关系集合Rb来表达，其中：S={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7}Rb={（S2，S1），（S3，S4），（S4，S5），（S7，S2），（S4，S6），（S6，S4）}返回2021年3月23日9时9分175162374图3-5例3-1有向图返回2021年3月23日9时9分18进入“状态空间模型（数学模型）”退回上一讲