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保密★启用前山东省济南市2020届高三下学期4月模拟考试数学试题数学试题一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集UR＝，集合A＝2{}xxx｜＞，则UA＝A．[]0,1B．（0，1）C．(],1−∞D．1−∞（，）2.设复数21izi+＝（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分。某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位:kg）约为（参考数据:取重力加速度大小为210/31.732gms≈＝，）A．63B．69C．75D．814.已知函数yfx＝（）的部分图象如图，则fx（）的解析式可能是A．fxxtanx（）＝＋B．2fxxsinx（）＝＋C．122fxxsinx−（）＝D.1cos2fxxx−（）＝5.方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用。某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班。若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为A．甲B．丙C．戊D．庚6.已知抛物线24yx＝的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A，B两点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为M，MAF∠的角平分线与抛物线的准线交于点P，线段AB的中点为Q。若8ABPQ＝，则＝A．2B．4C．6D．87.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图1：“以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数”，这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将1到9这九个数字，填在如图2所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数.则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率是A．13B．16C．172D．11448.已知直线0yaxbb＝＋（＞）与曲线3yx＝有且只有两个公共点1122,AxyBxy（，），（），其中12xx＜，则122xx＋＝A．1−B．0C．1D．a二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势。下面是2008年至2019年国际原油价格高低区间的对比图。下列说法正确的是A.2008年原油价格波动幅度最大B.2008年至2019年，原油价格平均值不断变小C.2013年原油价格平均值一定大于2018年原油价格平均值D.2008年至2019年，原油价格波动幅度均不小于20美元/桶10.已知符号函数1,0sgn()0,01,0xxxx==−下列说法正确的是A.函数ysgnx＝（）是奇函数B.对任意的11xsgnx＞，（ln）＝C.函数xyesgnx⋅−＝（）的值域为1−∞（，）D.对任意的xRxxsgnx∈⋅，＝（）11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，P为棱1CC上的动点（点P不与点C，C1重合），过点P作平面α分别与棱ABC，CD交于M，N两点，若CPCMCN＝＝，则下列说法正确的是A．1ACα⊥平面B．存在点P，使得1ACα平面C．存在点P，使得点A1到平面α的距离为53D．用过P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形12.已知函数cosfxsinxcosxsinxx−（）＝（＋），下列说法正确的是A.fx（）是周期函数B.fx（）在区间22ππ［-，］上是增函数C.若12+=2fxfx（）（），则12)2kxxkZπ∈＋＝（D.函数1gxfx（）＝（）＋在区间02π［，］上有且仅有1个零点三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知2233cosπα−（)=，则21sin()26πα−−的值为______________14.已知双曲线222210,0xyabab−＝（＞＞）的渐近线与圆（22(21xy−）＋＝相切，则该双曲线的离心率为_____________15.已知12ee，是夹角为3π的单位向量，若123aebeabR∈＋=（，），则ab＋的最大值为__________16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现:平面上到两定点A，B距离之比为常数01λλλ≠（＞且）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆。根据以上信息，解决下面的问题:如图，在长方体1111ABCDABCD−中，1226ABADAA＝＝＝，点E在棱AB上，2BEAE＝，动点P满足3BPPE＝.若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为_____;若点P在长方体1111ABCDABCD−内部运动，F为棱11CD的中点，M为CP的中点，则三棱锥1MBCF−的体积的最小值为_____________（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题:本题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17.（10分）若数列na｛｝满足221nnaapnNp+−∈＋＝（，为常数），则称数列na｛｝为等方差数列，p为公方差。（1）已知数列{}nnncdxn｛｝,｛｝，｛｝，y分别满足2020,1,21,3nnnnncdnxny＝＝＋＝＋＝，从上述四个数列中找出所有的等方差数列（不用证明）;（2）若数列na｛｝是首项为1，公方差为2的等方差数列，求数列2na｛｝的前n项和Sn18.（12分）如图，平面四边形ABCD，点B，C，D均在半径为533的圆上，且3BCDπ∠＝（1）求BD的长度；（2）若32ADADBABD∠∠＝，＝，求△ABD的面积19.（12分）如图1，平面四边形ABCD中，2ABACABACACCD⊥⊥＝＝，，，E为BC的中点，将△ACD沿对角线AC折起，使CDBC⊥，连接BD，得到如图2所示的三棱锥DABC−（1）证明:ADEBCD⊥平面平面；（2）已知直线DE与平面ABC所成的角为4π，求二面角ABDC−−的余弦值20.（12分）网络购物已经成为人们的一种生活方式.某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为人驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家做出评价，评价分为好评、中评和差评平台规定商家有50天的试营业时间，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计0分，差评计1−分，某商家在试营业期间随机抽取100单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图1和图2（1）通常收件时间不超过四天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓；请根据题目所给信息完成下面2×2列联表，并判断能否有99％的把握认为“获得好评”与物流速度有关？（2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为X.该商家将试营业50天期间的成交情况制成了频数分布表（表1），以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数发生的概率。（Ⅰ）求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）平台规定，当积分超过10000分时，商家会获得“诚信商家称号，请估计该商家从正式营业开始，1年内（365天）能否获得“诚信商家称号21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，①已知点30A（，），直线l:433x＝，动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比为32②已知圆C的方程为224xy＋＝，直线l为圆C的切线，记点(30)30)A−，,(，到直线l的距离分别为12dd，，动点P满足12PAdPBd＝，＝③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且3ST＝，动点P满足2133OPOSOT＝＋（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程；注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分（2）记（1）中的轨迹为E，经过点D（1，0）的直线l′交E于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围。22.（12分）已知函数2(1)xaexfxx−−（）=，且曲线yfx＝（）在22f（，（））处的切线斜率为1.（1）求实数a的值；（2）证明:01xfx当＞时，（）＞（3）若数列nx｛｝满足1nxnefx+＝（），且113x＝，证明:211nxne−＜1高三年级学习质量评估考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案AABCDBCB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。题号9101112答案ACABDACDAC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．13；14．233；15．2；16．23，94（本小题第一空2分，第二空3分）．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．【解析】（1）由等方差的定义可知{}{}nncd，为等方差数列；.........................................................................................4分（2）因为数列{}na是首项为1，公方差为2的等方差数列，所以212(1)21nann，.................................................................................7分所以2(121)2nnnSn．...................................................................................10分18．【解析】（1）【方法一】由题意可知，BCD△的外接圆半径为533，由正弦定理5322sin3BDRBCD，..................................................................3分解得5BD；.............................................................................................................5分【方法二】2由题意可知，BCD△的外接圆半径为533，设该外接圆的圆心为O，则23BOD，533OBOD，所以2222cos25BDOBODOBODBOD，.............................................3分解得5BD；.............................................................................................................5分（2）【方法一】在ABD△中，设ABD，为锐角，则2ADB，因为sin2sinABAD，所以32sincossinAB，...................................................7分所以6cosAB，因为2222cosADABBDABBD，即22936cos2560cos，所以6cos3，............................................9分则6cos26AB，3sin3，所以1sin522ABDSABBD△．....................................................