考研数学重要公式定理

-`高等数学重要定理及公式-`作者：电子科技大学通信学院张宗卫说明：本文档是笔者在考研过程中花费将近一个月的时间，总结得出的数学（一）重要公式及一些推论，并使用word及MathType输入成文，覆盖了微积分、线性代数、概率论这些课程。因为时间有限，难免存在一些输入错误，请读者仔细对照所学知识，认真查阅。线性代数重要公式1.矩阵与其转置矩阵关系：EAAA*2.矩阵行列式：*11AAA1*nAA*1*)(AkkAnnArnnArnArAr)(,1)(,11)(,0)(*3.矩阵与其秩：()min(),()()()()(,)()()(,)max(()())rABrArBrABrArBrABrArBrABrArB4.齐次方程组0Ax：非0解线性相关nAR)(5.非齐次方程组bAx：有解)()(ARAR线性表出6.相似与合同：相似—n阶可逆矩阵A,B如果存在可逆矩阵P使得BAPP1则A与B相似，记作：BA~；合同—A,B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵C使得ACCBT则称A与B合同。（等价，A与B等价—A与B能相互线性表出。）7，特征值与特征向量：A，求解过程：求行列式0AE中参数即为特征值，再求解0)(xAEi即可求出对应的特征向量。矩阵A的特征值与A的主对角元及行列式之间有以下关系：Aanniini...2111。上式中niiiaA1)(tra称为矩阵的迹。8.特征值特征向量、相似之间的一些定理及推论：实对称矩阵A的互异特征值对应的特征向量线性无关；若n阶矩阵的特征值都是单特征根，则A能与对角矩阵相似；n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A的每一个ik重特征根，齐次方程组0)(xAEi的基础解析由ik个解向量组成即对应每一个ik重特征根iiiknAER)(。9.实对称矩阵的特征值都是实数，如果A为一个实对称矩阵，那么对应于A的不同特征值的特征向量彼此正交。任意n阶实对称矩阵A都存在一个n阶正交矩阵C，使得ACCACCT1为对称矩阵。-`10.施密特正交矩阵化方法：一般地，把线性无关向量组s...,21化为与之等价的标准正交向量组的施密特正交过程如下：111122221111222231111333111122211),(),(...),(),(),(),(..........),(),(),(),(),(),(sssssssss再令：iii1则s...,21是一组与s...,21等价的标准正交向量组。11.正交矩阵的定义：如果实矩阵A满足：EAAAATT则称A为正交矩阵。12.设A，B为n阶方阵，如果存在可逆矩阵C，使得ACCBT，则称A与B合同。13.用正交变换化二次型为标准型步骤：a)写出二次型对应的对称矩阵A；b)求A的特征值i和特征向量，（0AE）i；c)将特征向量i正交化（实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量彼此正交，多重特征根在取特征向量时尽量取正交向量，方便计算）、单位化得id)令nxxxX...21，nC,...,21，nyyyY...21则CYX，是正交变换，且222221121...),...,,(nnnyyyxxxf。14.如果任一非零向量X都使得二次型0AXXT，则称之为正定二次型，对应的矩阵A为正定矩阵。二次型为正定矩阵的充要条件是矩阵A的特征值全部为正实数、正惯性指数是n、矩阵A与E合同、矩阵A的顺序主子式全大于零，且以上条件等价。-`概率论与数理统计重要知识点及公式：1.条件概率：)()()|(BPABPBAP如果(|)()()PABPAPB,则A与B独立。2.常用概率公式：()()()()()()()()()(|)()PABPAPBPABPABPABPAPABpABPABPB（对于给定如：AB这样的条件，常常通过画图（如下图）来解决，直观明了）()()()()()()pABpBpABpABpApAB3.全概率公式：1()()(|)niiiPAPAPAB4.贝叶斯公式：1()()()(|)()()(|)iiiinijjjpABpBpBApBApBpBpAB（结合条件概率公式和全概率公式推导而出）5.几个重要分布：a)二项分布（n次重复，伯努利类型）：()(1)nnmnmpACppb)泊松分布：二项分布当m,很大，p很小且np时，~(),,0,1,2...!kXppxkekkc)均匀分布：1,~(,),()0,axbXUabfxbaotherelsed)指数分布：,0()0,0xexfxxAB-`e)正态分布：22()221~(,),(;,)2xXNufxue6.随机变量的数字特征：A）数学期望：存在前提1niiixp，()xfxdx要绝对可积，那么1()niiiExxp，()()Exxfxdx；B）方差：222()(())()()()DXExExDXExExC）期望性质：()()()()()()ECCEcXcEXEXYEXEY，X，Y独立则()()()EXYEXEYD）方差性质：2()0()()()()()2cov(,)DCDcXcDxDXYDXDYXY,若X，Y相互独立则()()()DXYDXDY.。7.常用分布数字特征：a)(0,1)分布();()(1)EzpDzppb)b（n，p）二项分布();()(1)EznpDznppc)泊松分布,(),();!keEzDzkd)均匀分布：2(),,(),();212abbaUabEzDze)指数分布：2,011,(),();0,xexEzDzotherelsef)正态分布：22(,),(),();NEzDz8.协方差：定义式cov(,)()()XYExExyEy计算式cov(,)()()()XYExyExEy-`性质：1212cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)()XYYXYXYaXbYabXYZZDZ9.相关系数：cov(,),1;()()xyXYDXDY10.几种特殊函数的分布问题：a)极值分布12max(,),min(,)ZXYZXY12()(max(,))(,)()()()()()(min(,))1(min(,))1()()1[1{}][1{}]1[1()][1()]ZxyZxyFzPXYzPXzYzPXzPYzFzFzFzPXYzPXYzPXzPYzpxzpyzFzFzb）和的分布：Z=X+Y分分布函数是`(){}(,);()()(,)()(,)zxyzzzzFzPXYzfxydxdyfzFzfzyydyfzfxzxdx一般的X与Y相互独立，且221122~(,),~(,)XNYN，则221212~(,)ZXYN，其概率密度公式为：2122211(())2()22121122111(;,)2()xfze。c）商的分布XZY分布函数是：/00()()(,)()(,)(,)(,)zxyzzFzPZzfxydxdyfzyfzyydyyfzyydyyfzyydy11.参数估计：a)矩估计方法：构造关于参数组成的k阶原地矩与样本k阶原点矩之间的等式关系：1211(,,...)nkkniixn，解此方程组解为12(,,...)kknxxx就作为k的矩估计。b）极大似然估计方法：基本思想是按照最大可能性的准则进行推断，把已经发生的事-`件，看成最可能出现的事件，即认为它具有最大的可能性。求法，写出最大似然函数,并求最大似然函数的最大值点，一般取最大似然函数的对数方便运算，即求解如下的似然方程组ln0,1,2,3...,kLkm，似然方程组的解可能不唯一，这时需要微积分知识进一步的判定哪一个是最大值点，若似然函数关于参数的导数不存在时，就无法得到似然方程组，因此必须回到极大似然股及的定义式直接求解。13.矩估计的优良性：若()E则称是的无偏估计量，若12,是的无偏估计量，且12()()DD则称1为的最小无偏估计量。14.数理统计概念：11niiXXn（样本均值）2211()1niiSXXn（样本方差）11nkkiiAXn（样本k阶原点矩）11()nkkiiMXXn（样本k阶中心矩）15.三个重要分布：a)设n个相互独立并且都服从正态分布(0,1)N的随机变量12,,...,nXXX记221niiX则称随机变量2服从自由度为n的2分布。对于给定的正数a(0a1),称满足关系式2222()(())()anPnfxdxa的数2()an为2()n的上侧临界值或上侧分位数。性质：22(),()2EnDn设12,YY相互独立，且221122~(),~()YnYn则有21212~()YYnnb）设随机变量X与Y相互独立，2~(0,1),~()XNYn，记XTYn则随机变量T服从自由度为n的t分布。-`c）设随机变量X,Y相互独立，2212~(),~()XnYn记12XnFYn则随机变量F服从第一自由度为1n第二自由度为2n的F分布。16设12,,...,nXXX是正太总体2(,)N的样本，2,XS分别是样本均值和样本方差，则有X与2S相互独立，则有2222~(,)1~(1)~(1)/XNnnSnXtnSn上式中，1122111()()()11()()()nniiiiniiiEXEXEXnnDXDXDXnnn17.设121,,...,nXXX和212,,...,nYYY分别是来自正态总体221122(,),(,)NN的样本，并且它们相互独立，2212,,,XSYS分别是这两组样本的均值和样本方差，则有：A）2211122222/~(1,1);/SFFnnSB）当22212时，121212()()~(2)11XYTtnnSnn其中，22112212(1)(1)2nSnSSnn。18.已知随机变量X的分布函数F(x),分布函数在x=a处不连续，则{}()lim()xaPXaFxaFx。（{}()(0)PxaFaFa）19.概率密度函数满足：()1fxdx，通常用此条件求概率密度函数中的参数值。20.多重概率密度函数同样满足：(,)1GfxydG为积分空间.-`微积分部分：1，无穷小与无穷大：当0x时，有下列等价无穷小233333sin~,tan~,arcsin~,arctan~,1111~,1cos~,tansin~,221ln(1)~,log(1)~,1~,1~ln;lnarcsin~,arctan~,tan~,6331tansin~2nxxaxxxxxxxxxxxxxxxnxxxxexaxaaxxxxxxxxxxxx2，若00lim()0,lim()0xxxxf