椅子能在不平的地面上放稳吗(1)

椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。下面用数学语言证明。一、模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。3、对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。二、模型建立中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论。首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量来表示椅子的位置。其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为f，B、D两脚与地面距离之和为g，显然f、0g，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知f、g至少有一个为0。当BBACAxCD图1正方形椅脚D0时，不妨设0,0fg，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题已知f、g是的连续函数，对任意，f*g=0，且00,00fg，则存在0，使000fg。三、模型求解将椅子旋转090，对角线AC和BD互换，由00,00fg可知02,02fg。令hfg，则02,00hh，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在2000使00h，00fg，由0*00fg，所以000fg。四、模型的进一步讨论Ⅰ.考虑椅子四脚呈长方形的情形设A、B两脚与地面之和为f，C、D两脚与地面距离之和为g，为AC连线与x轴正向的夹角（如图2所示）。显然f、0g，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知f、g至少有一个为0。当0时，不妨设0,0fg，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题已知f、g是的连续函数，对任意，f*g=0，且00,00fg，则存在0，使000fg。图2长方形椅脚将椅子绕对称中心旋转度，长方形ABCD变成了C’D’A’B’（如图2），即AB与CD互换，由00,00fg可知0,0gf。令hfg，则00,0hh，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在000使00h，即00fg，由0*00fg，所以000fg。Ⅱ.考虑椅子四脚呈不规则四边形（即任意四边形）的情形在椅子四脚连线所构成的四边形ABCD的内部任取一点O，作为坐标原点，建立直角坐标系，记AO与x轴正向夹角为，记A、B两脚与地面距离之和为f，C、D两脚与地面距离之和为g，根据假设3不妨设当1时，110,0gf，将椅子逆时针旋转一定角度，使A、B两脚与地面之和为0，此时，AO与x轴正向的夹角变为2，由假设3（任意时刻椅子至少有3只脚着地）易知当2，220,0fg，令hfg，则120,0hh，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在0102,121[0,2),(,2],使00h，即00fg，由0*00fg，所以000fg。图3不规则四边形五、评注模型巧妙在于用已元变量表示椅子的位置，用的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转90°并不是本质的。我们在模型的进一步讨论中更证实了更一般的结论：四脚连线为不规则四边形的椅子能在不平的地面上放稳。