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多边形的内角和主讲教师：吕瑞玲情境导入在一次数学基础知识抢答赛上，王老师出了这么一个问题：某个多边形所有的角加起来等于它的外角和，那么该多边形是几边形？小媛同学仅用几秒钟就解决了问题，你能吗？长方形、正方形的内角和等于______.360°任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？探究新知你能利用三角形内角和定理证明你的结论吗？证明：连接AC，∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=（∠BAC+∠BCA+∠B）+（∠DAC+∠DCA+∠D），=180°+180°=360°．ABCD探究新知从四边形的一个顶点出发，可以作_____条对角线，它们将四边形分为个三角形，四边形的内角和等于180°×____=°．122360ABCD探究新知ABCDE如图，从五边形的一个顶点出发，可以作条对角线，它们将五边形分为____个三角形，五边形的内角和等于180°×=°．233540探究新知如图，从六边形的一个顶点出发，可以作_____条对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形的内角和等于180°×____=_______°．344720CABDEF探究新知如图，从n边形的一个顶点出发，可以作条对角线，它们将n边形分为个三角形，这个三角形的内角和就是n边形的内角和，所以，n边形的内角和等于．1A2A3A4A5A6AnA（n-3）（n-2）（n-2）×180°（n-2）探究新知n边形六边形五边形四边形三角形多边形内角和分割出三角形的个数从多边形的一个顶点引出的对角线条数图形边数······03-3=4-3=5-3=6-3=n-31233-2=14-2=25-2=36-2=4n-2（n-2）·180º180º360º540º720º·········探究新知ABCDEO方法1：如图，在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形．∴五边形的内角和为5×180°-2×180°=（5-2）×180°=540°．把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形内角和公式吗？探究新知方法2：如图，在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可得（5-1）个三角形．∴五边形的内角和为（5-1）×180°-180°＝（5-2）×180°．ABCDEO如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和为（n-2）×180°．探究新知解：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°．∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180°=360°，∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=360°-180°=180°．【例】如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ABCD如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．例题解析【例2】在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少呢？如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．ABDEF123456C例题解析解：∵∠1+∠BAF=180°，∠2+∠ABC=180°，∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDE=180°，∠5+∠DEF=180°，∠6+∠EFA=180°，ABDEF123456C例题解析∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180°又∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=(6-2)×180°∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=6×180°-(6-2)×180°=360°这就是说，六边形形的外角和为360°．ABDEF123456C例题解析如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果：因为n边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它们的和是180°，所以n边形内角和加外角和等n·180°，所以，n边形的外角和为：n·180°-（n-2）·180°=360°．多边形的外角和等于360°．例题解析如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向．A我们也可以这样理解多边形外角和等于360°．例题解析在行程中转过的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转过的各个角的和等于一个周角，所以多边形外角和等于360°．例题解析A1．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）．A．4条B．5条C．6条D．7条2．若一个多边形的边数为8条，则这个多边形的内角和是（）．A．900°B．540°C．1080°D．360°3．若一个多边形增加一条边，那么它的内角和（）．A．增加180°B．增加360°C．减少360°D．不变．4．多边形每一个内角都等于150°，则该多边形的边数是（）．A．10条B．11条C．12条D．13条CACC课堂练习（1）多边形内角和公式（2）多边形外角和等于360°．（n-2）×180°．课堂小结谢谢观赏