第1课时　等边三角形的性质与判定

13.3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定01基础题知识点1等边三角形的性质1．等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为(A)A．60°B．90°C．120°D．150°2．如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是(A)A．100°B．80°C．60°D．40°3．如图，△ABC是等边三角形，AD＝CD，则∠ADB＝90°，∠CBD＝30°.4．如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝3．5．如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝75°．6．如图所示，等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F.求证：BF＝EF.证明：∵BD是等边△ABC的中线，∴BD平分∠ABC.∴∠DBE＝12∠ABC＝30°.又∵CE＝CD，∴∠E＝12∠ACB＝30°.∴∠DBE＝∠E.∴DB＝DE.∵DF⊥BE，∴DF为底边上的中线．∴BF＝EF.知识点2等边三角形的判定7．下列推理错误的是(B)A．在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形B．在△ABC中，∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形C．在△ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形D．在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形8．在△ABC中，AB＝BC，∠B＝∠C，则∠A的度数是60°．9．如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC是等边三角形．证明：∵DC＝DB，∴∠B＝∠DCB＝30°，∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°.又∵AD＝DC，∴△ADC是等边三角形．10．如图所示，锐角△ABC中，∠A＝60°，它的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC，求证：△ABC是等边三角形．证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，∴∠BEC＝∠BDC＝90°.又∵∠BOE＝∠COD，∴∠EBO＝∠DCO.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．∵∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形．02中档题11．如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD，其中正确结论的个数为(A)A．3B．2C．1D．012．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE，交BD于P，连接CD，分别交BE，AE于Q，M，连接BM，PQ，则∠AMD的度数为(B)A．45°B．60°C．75°D．90°13．如图，将边长为5cm的等边△ABC，沿BC向右平移3cm，得到△DEF，DE交AC于M，则△MEC是等边三角形，DM＝3cm.14．如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.(1)求证：AE＝CF；(2)求∠ACF的度数．解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠ABE＋∠EBC＝60°.∵△BEF是等边三角形，∴EB＝FB，∠CBF＋∠EBC＝60°.∴∠ABE＝∠CBF.在△ABE和△CBF中，AB＝CB，∠ABE＝∠CBFEB＝FB，，∴△ABE≌△CBF(SAS)．∴AE＝CF.(2)∵等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝30°，∠ACB＝60°.∵△ABE≌△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝30°.∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝30°＋60°＝90°.03综合题15．(泰安中考)(1)已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°(如图1)．求证：BE＝AD；(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变(如图2)，(1)的结论是否成立，并说明理由．图1图2解：(1)证明：过点D作BC的平行线交AC于点F.∵△ABC是等腰三角形，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠ABC＝60°.∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∠FDC＝∠DCE.∴△ADF是等边三角形．∴AD＝DF，∠AFD＝60°.∴∠DFC＝180°－60°＝120°.∵∠EBD＝180°－60°＝120°，∴∠DFC＝∠EBD.∵∠FDC＝∠DCE，∠DCE＝∠DEC，∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD.∴△DBE≌△CFD(AAS)．∴BE＝DF.∴BE＝AD.(2)BE＝AD成立．理由如下：过点D作DG∥BC交AC的延长线于点G.同(1)可证△ADG是等边三角形，∴AD＝DG，∠AGD＝60°.∵∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠DBE＝∠AGD.∵∠GDC＝∠DCE，∠DCE＝∠DEC，∴∠GDC＝∠DEC，ED＝CD.∴△DBE≌△CGD(AAS)．∴BE＝DG.∴BE＝AD.