第1课时　线段的垂直平分线的性质和判定

13．1.2线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定01基础题知识点1线段的垂直平分线的性质1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，已知PA＝5，则PB的长为(B)A．6B．5C．4D．32．如图，AB是CD的垂直平分线，若AC＝2.3，BD＝1.6，则四边形ACBD的周长是(B)A．3.9B．7.8C．4D．4.63．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的长．解：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC.∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE.∵AB＝5cm，BD＝3cm，∴CE＝5cm，CD＝3cm.∴BE＝BD＋DC＋CE＝11cm.4．如图，△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G.求△AEG的周长．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE.同理：AG＝CG.∴△AEG的周长为AE＋AG＋EG＝BE＋CG＋EG＝BC＝10.知识点2线段的垂直平分线的判定5．已知：如图，直线PO与AB交于O点，PA＝PB.则下列结论中正确的是(D)A．AO＝BOB．PO⊥ABC．PO是AB的垂直平分线D．P点在AB的垂直平分线上6．(毕节中考)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(D)A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点7．如图所示，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由．解：相等．连接BC，∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．同理：点D也在线段BC的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴AD是线段BC的垂直平分线．∵E是AD延长线上的一点，∴BE＝CE.知识点3经过直线外一点作已知直线的垂线8．(北京中考)下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：如图，直线l和l外一点P.求作：直线l的垂线，使它经过点P.作法：如图．(1)在直线l上任取两点A，B；(2)分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；(3)作直线PQ.所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上(A，B都在线段PQ的垂直平分线上)．02中档题9．(临沂中考)如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(C)A．AB＝ADB．AC平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DEC10．如图，△ABC中，∠B＝40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB∶∠CAE＝3∶1，则∠C等于(A)A．28°B．25°C．22.5°D．20°11．已知：如图，AC是线段BD的垂直平分线，E是AC上的一点，则图中全等的三角形共有(D)A．3对B．4对C．5对D．6对12．(恩施中考)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为(A)A．3cmB．6cmC．12cmD．16cm13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，△BCE的周长是8，AB－BC＝2，则△ABC的周长是(A)A．13B．12C．11D．1014．如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，且AP＝5，那么PC＝5．15．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC边的垂直平分线MN经过点A，连接AC，求证：点A在CD的垂直平分线上．证明：∵MN垂直平分BC，∴AB＝AC.∵AB＝AD，∴AC＝AD.∴点A在CD的垂直平分线上．03综合题16．如图，已知△ABC中，BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交AC于点G.求证：(1)BF＝CG；(2)AF＝12(AB＋AC)．证明：(1)连接BE、CE.∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF＝EG.∵DE垂直平分BC，∴EB＝EC.在Rt△EFB和Rt△EGC中，EF＝EG，EB＝EC，∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL)．∴BF＝CG.(2)∵BF＝CG，∴AB＋AC＝AB＋BF＋AG＝AF＋AG.又易证Rt△AEF≌Rt△AEG(HL)，∴AF＝AG.∴AF＝12(AB＋AC)．