专训2 “三线合一”解题的六种技巧

专训2“三线合一”解题的六种技巧名师点金：等腰三角形中的“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程．利用“三线合一”求角1．如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB＝AC.求顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．(第1题)利用“三线合一”求线段2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝10，且△BDC的周长为24，求AE的长．(第2题)利用“三线合一”证线段(角)相等3．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．(1)如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，试判断△DEF的形状，并说明理由．(2)如图②，若E，F分别为AB，CA的延长线上的点，且仍有BE＝AF.请判断△DEF是否仍有(1)中的形状，并说明理由．21·cn·jy·com(第3题)利用“三线合一”证垂直4．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.2·1·c·n·j·y(第4题)利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D.试说明：BF＝2CD.21教育网(第5题)利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.试说明：CD＝AB＋BD.(第6题)答案1．解：因为AB＝AC，∠BAC＝100°，AD⊥BC，所以∠B＝∠C＝40°，∠BAD＝∠CAD＝50°.【来源：21·世纪·教育·网】2．解：因为△BDC的周长＝BD＋BC＋CD＝24，BC＝10，所以BD＋CD＝14.∵AD＝BD，∴AC＝AD＋CD＝BD＋CD＝14.又∵AB＝AC＝14.AD＝DB，DE⊥AB，∴AE＝EB＝12AC＝7.3．解：(1)△DEF为等腰直角三角形．理由：连接AD，易证△BDE≌△ADF，∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，又∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠ADB＝90°.∴△DEF为等腰直角三角形．(2)是，理由略．4．证明：如图，过点E作EF⊥AC于F.∵AE＝EC，∴AF＝12AC.又∵AB＝12AC，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠BAE.又∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEB(SAS)．∴∠ABE＝∠AFE＝90°，即EB⊥AB.(第4题)5．解：如图，延长BA，CD交于点E.(第5题)∵BF平分∠ABC，CD⊥BD，BD＝BD，∴△BDC≌△BDE.∴BC＝BE.又∵BD⊥CE，∴CE＝2CD.∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF＝∠DCF.又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，∴△ABF≌△ACE(ASA)．∴BF＝CE.故BF＝2CD.6．解：如图，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AE＝AB，所以∠AEB＝∠ABC.21世纪教育网版权所有(第6题)又因为AD⊥BC，所以AD是BE边上的中线，即DE＝BD.又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB＝2∠C.而∠AEB＝180°－∠AEC＝∠CAE＋∠C，所以∠CAE＝∠C.所以CE＝AE＝AB，故CD＝CE＋DE＝AB＋BD.21cnjy.com