专训1 角平分线中常用作辅助线的方法

专训1角平分线中常用作辅助线的方法名师点金：因为角的平分线已经具备了全等三角形的两个条件(角相等和公共边)，所以在处理角的平分线的问题时，常作出全等三角形的第三个条件，截两边相等(SAS)或向两边作垂线段(AAS)或延长线段等来构造全等三角形．作一边的垂线段1．如图，已知△ABC的周长是20cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝1.8cm，求△ABC的面积．21教育网(第1题)作两边的垂线段2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，求证：PC＝PD.(第2题)延长作对称图形法3．如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO交AO于点D，AE⊥BD交BD延长线于点E，求证：BD＝2AE.21·cn·jy·com(第3题)截取作对称图形法4．如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，求证：BE＋CFEF.(第4题)答案1．解：连接OA，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F.∵BO是∠ABC的平分线，且OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝1.8cm.同理OF＝OD＝1.8cm.∴S△ABC＝S△BOC＋S△ABO＋S△ACO＝12BC·OD＋12AB·OE＋12AC·OF＝12(BC＋AB＋AC)·OD＝12×20×1.8＝18(cm2)．21cnjy.com2．证明：如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEC＝∠PFD＝90°.∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF.∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.而∠PDO＋∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF.(第2题)在△PCE和△PDF中，∠PCE＝∠PDF，∠PEC＝∠PFD，PE＝PF，∴△PCE≌△PDF(AAS)．∴PC＝PD.3．证明：如图，延长AE交BO的延长线于点F.(第3题)∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°.∵BD平分∠ABO，∴∠ABE＝∠FBE.又∵BE＝BE，∴△ABE≌△FBE(ASA)．∴AE＝FE.∴AF＝2AE.∵∠AEB＝∠AOB＝90°，∴∠OAF＋∠AFO＝90°，∠OBD＋∠AFO＝90°.∴∠OAF＝∠OBD.又∵OA＝OB，∠AOF＝∠BOD＝90°，∴△AOF≌△BOD(ASA)．∴AF＝BD.∴BD＝2AE.4．证明：在AD上截取DH＝BD，连接EH，FH.∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝DH.∵DE平分∠ADB，∴∠BDE＝∠HDE.又∵DE＝DE，∴△BDE≌△HDE(SAS)．∴BE＝HE.同理△CDF≌△HDF(SAS)．∴CF＝HF.在△HEF中，∵HE＋HFEF，∴BE＋CFEF.