专训1 全等三角形判定的六种应用

专训1全等三角形判定的六种应用名师点金：一般三角形全等的判定方法有四种：SSS，SAS，ASA，AAS；直角三角形是一种特殊的三角形，它的判定方法除了上述四种之外，还有一种特殊的方法，即“HL”．具体到某一道题目时，要根据题目所给出的条件进行观察、分析，选择合适的、简单易行的方法来解题．已知一边一角型应用1：一次全等型1．如图，在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC.(第1题)2．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF.21教育网求证：AD是△ABC的中线．(第2题)应用2：两次全等型3．如图，∠C＝∠D，AC＝AD，求证：BC＝BD.(第3题)4．如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB＝EC，∠BAE＝∠CAE.求证：∠ABE＝∠ACE.21cnjy.com(第4题)已知两边型应用3：一次全等型5．【2016·河北】如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.21·cn·jy·com(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．(第5题)应用4：两次全等型6．如图，AB＝CB，AD＝CD，E是BD上任意一点．求证：AE＝CE.(第6题)7．如图，已知AD＝AE，AB＝AC.求证：BF＝FC.(第7题)已知两角型应用5：一次全等型8．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.(第8题)应用6：两次全等型9．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF.2·1·c·n·j·y(第9题)答案1．证明：∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DBC＝∠2＋∠DCB，即∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.在△ABD和△ACD中，AB＝AC，∠1＝∠2，BD＝CD，∴△ABD≌△ACD(SAS)．∴∠BAD＝∠CAD.即AD平分∠BAC.2．证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°.又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴△DBE≌△DCF.∴BD＝CD.即D是BC的中点，∴AD是△ABC的中线．3．证明：过点A作AM⊥BC，AN⊥BD，分别交BC的延长线，BD的延长线于点M，N.∴∠M＝∠N＝90°.∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ACM＝∠ADN.在△ACM和△ADN中，∠M＝∠N，∠ACM＝∠ADN，AC＝AD，∴△ACM≌△ADN(AAS)．∴AM＝AN，CM＝DN.在Rt△ABM和Rt△ABN中，AB＝AB，AM＝AN，∴Rt△ABM≌Rt△ABN(HL)．∴BM＝BN.∴BM－CM＝BN－DN，即BC＝BD.4．证明：过E作EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，则∠AFE＝∠AGE＝90°.在△AFE和△AGE中，∠AFE＝∠AGE，∠FAE＝∠GAE，AE＝AE，∴△AFE≌△AGE(AAS)，∴EF＝EG.在Rt△BFE和Rt△CGE中，EB＝EC，EF＝EG，∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)，∴∠ABE＝∠ACE.5．(1)证明：∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF.又∵AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF.(2)解：AB∥DE，AC∥DF.理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.∴AB∥DE，AC∥DF.6．证明：在△ABD和△CBD中，AB＝CB，AD＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SSS)．∴∠ABE＝∠CBE.在△ABE和△CBE中，AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(SAS)．∴AE＝CE.7．证明：在△ACD和△ABE中，AE＝AD，∠A＝∠A，AB＝AC，∴△ACD≌△ABE(SAS)，∴∠B＝∠C.又∵AD＝AE，AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE.在△DBF和△ECF中，∠B＝∠C，∠BFD＝∠CFE，BD＝CE，∴△DBF≌△ECF(AAS)，∴BF＝FC.8．证明：在△DOB与△EOC中，∵∠BDC＝∠CEB＝90°，∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C.又AO平分∠BAC，∴∠BAO＝∠CAO.在△ABO与△ACO中，∠BAO＝∠CAO，∠B＝∠C，AO＝AO，∴△ABO≌△ACO(AAS)．∴OB＝OC.9．证明：在△ABC和△DCB中，∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(AAS)．∴AC＝DB.又∵∠BAC＝∠CDB，∴∠FAC＝∠FDB.在△FAC和△FDB中，∠F＝∠F，∠FAC＝∠FDB，AC＝DB，∴△FAC≌△FDB(AAS)．∴BF＝CF.