黑龙江哈尔滨市南岗区四十八中2014—2015学年度2月月测数学试题

黑龙江哈尔滨市南岗区四十八中2014—2015学年度2月月测数学试题一、选择题(每小题3分，共30分)1.5的倒数是()（A）－5（B）5（C）－55（D）552．下列运算错误的是()(A)－(a－b)=－a+b(B)a2•a3=a6(C)a2－2ab+b2=(a－b)2(D)3a－2a=a3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()4．抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为x=1，它与x轴的一个交点的坐标为(－3，0)，则它与x轴另一个交点的坐标为()(A)(－2，0)(B)(－1，0)(C)(2，0)(D)(5，0)5、如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，这个几何体的俯视图是()（A）（B）（C）（D）6．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，点E在AB边上，点F在CD边上，EF经过点O，若图中两阴影部分面积和为1，则四边形ABCD面积为()(A)2(B)4(C)8(D)167．若反比例函数y=xk的图象经过点(－1，2)，则它一定不经过下列四个点中的()(A)(2，1)(B)(1，－2)(C)(2，－l)(D)(－2，1)8．在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=6，AC=8，则sinA的值为()(A)54(B)43(C)53(D)349．在1，2，3，4四个数中任取两个数相加等于5概率为()(A)61(B)31（C）21(D)3210．大客车从甲地开往乙地，出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，它们离甲地的距离y(千米)与客车行驶的时间x(小时)之间的函数关系图象如图所示，FOCABDE大客车出租车x(小时)y(千米)O600106则下列结论不正确的是()(A)甲、乙两地相距600km(B)客车比出租车晚4小时到达终点(C)出发4小时，两车相遇(D)大客车的速度比出租车慢40千米/时二．填空题：(每小题3分，共30分)11．17800用科学记数法可表示为．12．计算42＋8=．13．因式分解4m2－8mn+4n2=．14．不等式组51x22x2的解集为．15．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转20°得到△AB′C′，此时BC与B′C′交于点P，则∠B′PC的度数为．16．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润为250万元，则平均每月增长％．17．一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积为．18．PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上(不与点A、B重合)，若∠P=70°，则∠ACB的度数是．19.如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，将该矩形沿直线DE折叠，点A恰好落在BC边的点F处．若AE=5，BF=3，则AD边的长是____________.20．如图，在△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB和AC上，CE与BF相交于点D，若AF=BE，BD∶DF=3∶4，则ED∶CD=____________.三、解答题(共60分，其中21～24题各6分，25、26题各8分。27、28题各10分)21．(本题6分)先化简，再求代数式4a23a÷(2a5－a－2)的值，其中a=tan60°－6sin30°．22．(本题6分)如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．(1)在图中以AB为一腰作等腰三角形ABC，使得△ABC一个顶角为钝角，点C在小正方形顶点上．(2)直接写出△ABC的周长DEBCAFEFCABDPBCC'AB'AB23．(本题6分)如图平面直角坐标系中，第一象限内的P点在直线y＝21x+1上，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、A，若四边形AOBP的周长为8，反比例函数y＝xk(k≠0)经过P点，(1)求P点坐标(2)求反比例函数y＝xk(k≠0)的解析式24、(本题6分)随机调查了某小区内若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图：请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：（1）求出扇形统计图中a、b的值并补全条形统计图.（2）若该小区年龄在15～59岁居民约有5100人，请估计年龄在60岁以上的居民人数．xyCBAPO1002512575501500～1415～4041～5960岁以上年龄3614460人数ba48％20％0～14岁60岁以上41～59岁15～40岁25．(本题8分)如图，等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于F，过D作AC的垂线交AC于E，(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CD＝10，AF＝1，求⊙O的半径26．(本题8分)17中学计划购进一批人文类图书与科技类图书，每本人文类图书的价格相同。每本科技类图书的价格也相同．且每本人文类图书的价格比每本科技类图书的价格少l元，用420元购入的科技类图书与用360元购入的人文类图书册数相同，(1)求每本科技类图书和每本人文类图书的价格分别为多少元?(2)学校计划用不多于2．3万元购买2000本科技类图书和若干本人文类图书，在购买时书店给了每本书l元的优惠，求该校至多购买人文类图书多少本?FEACBOD27．(本题l0分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+47x+6与x轴交于A，B两点(A右B左)，与y轴的正半轴交于点C，A点坐标为(8，0)(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线在第一象限内的一个动点，点P的横坐标为t，过P作y轴的平行线交AC于E，设线段PE的长为d，求出d与t之间的函数关系式并直接写出自变量t的取值范围；(3)在(2)的条件下，当t为何值时，d最大？当d最大时，连PC、AP，点F在y轴上，问是否存在这样的F点，使得△PCF与△APC相似，若存在，求出F点坐标；若不存在，说明理由．xyBCAOxyBCAOxyBCAO28．(本题l0分)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BH平分∠ABC，交AC边于点H，CD⊥BH，垂足为点D，点E在线段BD上，且．∠EAC=3∠ABH(1)如图l，求证：AE=CD；(2)如图2，延长AE交BC于F，G在BE上，且GF=EF，探究GB×BD与BE2之间的数量关系并证明．图1HEADBC图2GFHEADBC图2GFHEADBC参考答案一、选择题DBCDABACBC二、填空题11、1.78×10412、5213、4(m－n)214、1x＜315、116、2517、12π18、55°或125°19、1520、1∶6三、解答题21.原式=)2a(23a÷[2a5－(a+2)]=)2a(23a÷2a)4a(52=)2a(23a×)a3)(a3(2a=－)a3(21-------2分当x=3－6×21=3－3时，-------2分原式=－)333(21=－321=－63-------2分22.共有两种画法（1）画图正确-------4分（2）周长为10+310或10+45，-------2分23.(1)设P点坐标为(x，21x+1)，∵PA⊥y轴、PB⊥x轴，∴∠PAO＝∠PBO＝90°＝∠AOB，∴四边形AOBP是矩形，-------2分∴AP＝OB＝x，AO=BP=21x+1，∴2x+2(21x+1)＝8，∴x=2，∴P(2，2)-------2分(2)∵反比例函数y＝xk(k≠0)经过P点，∴k=2×2=4，∴反比例函数y＝xk(k≠0)的解析式为y＝x4-------2分10+4510+310ABCABCxyCBAPO24.(1)∵样本中15岁至40岁共有144人，占抽样人数的48%∴144÷48%=300(人)------1分∴300－144－60－36=60(人)补图------1分∴a=30060×100%=20%，b=30036×100%=12%------2分(2)样本中15岁至59岁占抽样人数的(48%+20%)=68%,60岁以上占12%∴由样本估计总体：5100×%68%12=900(人)------1分答：估计该小区60岁以上居民有900人------1分25．(1)证明：连OD，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°------1分∵BO、DO都是⊙O半径，∴BO=DO，------1分∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，------1分∴∠ODE＝∠AED＝90°，∴DE是⊙O的切线------1分(2)解：连AD、BF∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝∠AFB＝90°，∴∠CFB＝∠CDA＝90°，∵AB＝AC，∴BD=CD＝10，------1分∵∠C＝∠C，∴△CBF∽△CDA，------1分∴CD∶FC＝AC∶BC，∴CD×CB=CF×AC，∴10×210=CF×(CF+1)∴CF2+CF－20=0,∴CF1=－5(舍)CF2=4∴AB=AC=1+4=5,------1分∴⊙O的半径为25------1分FEACBDOFEACBDOFEACBOD另：证：△CFD∽△CBA亦可26.（1）设每本科技类图书为x元，则每本人文类图书为(x－1)元，----1分由题意得：x420=1x360-------1分解得x=7经检验x=7是原方程的解----1分x－1=7－1=6(元)--------1分答：每本科技类图书为7元，则每本人文类图书为6元（2）设该校购买人文类图书a本，---------1分依题意得：2000×(7－1)+(6－1)a≤2.3×104-------2分解得a≤2200---------1分答：该校至多购买人文类图书2200本27.(2+4+4)解：(1)将A点坐标为(8，0)代入y=ax2+47x+6得：64a=－20，∴a=－165，---------1分∴抛物线的解析式：y=－165x2+47x+6---------1分(2)y=－165x2+47x+6令x=0，y=6，∴C(0，6)，设AC直线解析式为y=kx+b，∴06k86b∴6b43k∴y=－43x+6---------2分设P(t，－165t2+47t+6)，E(t，－43t+6)∴PE=(－165t2+47t+6)－(－43t+6)=－165t2+25t---------1分xyEBCAOP∴d=－165t2+25t(0t8)---------1分(3)延长PE交AB于L，d最大时，t=－)165(225=4，---------1分此时PE=5，∴P(4，8)，E(4，3)∵AO=8，∴E是AC中点，∵Rt△ACO中，AC=222286COAO=10∴CE=AE=5=PE，∴∠ACP=∠CPE，∠EPA=∠EAP∵∠ACP+∠CPE+∠EPA+∠EAP=180°∴∠APC=90°，---------1分∵PE∥y轴，∴∠ACP=∠CPE=∠1，共分两种情况：①∠PF1C=90°，∴△PF1C∽△APC，∴F1的坐标为(0，8)---------1分②∠F2PC=90°，∴△F2PC≌△APC，∴OF2=2OF1=16，∴F2的坐标为(0，16)----1分综上所述，t=4时d最大，F点坐标为(0，8)，(0，16)28.(5+5)(1)证明：过A作AL⊥BD于L，延长CD、BA交于K，连AD．设∠ABH＝α＝∠CBD，∵∠BAD＝∠BDC=90°∴∠CDA=∠ABD=α∵∠K=90°－α=∠BCK∴BK=BC，∵∠BDC=90°∴DK=CD，∴AD是Rt△CAK的斜边中线----2分∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA=α，∵∠ALB=90°=∠BDK，∴AL∥CD，∴∠LAH=∠DCH=α，∴∠EAL=2α=∠DAL∴∠AED=90°－2α=∠ADE，∴AE=AD，∴AE=CD----3分(2)BE2=BG×BD----1分先证：△ABE∽△FBG，得AB∶BF=BE∶BG----2分再证：△ABD∽△FBE，得AB∶BF=BD∶BE2ααααααLKHEADBCGFHEADBCGFHEADBCx(4,8)(8,0)(0,6)1F2F1LEBCAO