锐角三角函数 课后练习一及详解

学科：数学专题：锐角三角函数主讲教师：黄炜北京四中数学教师重难点易错点解析题面：已知：如图，△ABC中，AC10，sinC45，sinB13，求AB．金题精讲题面：如图，在Rt△ABO中，斜边AB1．若OC∥BA，∠AOC36°，则()A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°满分冲刺题一：题面：如图，△ABC中，∠C90°，点D在AC上，已知∠BDC45°，BD210，AB20，求∠A的度数.题二：题面：(1)如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律；(2)根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．题三：题面：已知cosα+cosβ12，sinα+sinβ32，则cos(αβ)______课后练习详解重难点易错点解析答案：24．详解：作AD⊥BC于D点，如图所示，在Rt△ADC中，AC10，sinC45，∴ADACsinC10×458，在Rt△ABD中，sinB13，AD8，则ABsinADB24．金题精讲答案：C.详解：由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：A、由于在Rt△ABO中∠AOB是直角，所以B到AO的距离是指BO的长.∵AB∥OC，∴∠BAO∠AOC36°.在Rt△BOA中，∵∠AOB90°，AB1，∴BOABsin36°sin36°.故本选项错误.B、由A可知，选项错误.C、如图，过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离.在Rt△BOA中，∵∠BAO36°，∠AOB90°，∴∠ABO54°.∴AOAB•sin54°sin54°.在Rt△ADO中，ADAO•sin36°AB•sin54°•sin36°sin54°•sin36°.故本选项正确.D、由C可知，选项错误.故选C.满分冲刺题一：答案：∠A30°.详解：∵在直角三角形BDC中，∠BDC45°，BD210，∴BCBD•sin∠BDC2102=102.∵∠C90°，AB20，∴101sin202BCAAB.∴∠A30°.题二：答案：(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．(2)sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°，cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88°．详解：(1)由图①，知sin∠B1AC1111BCAB，sin∠B2AC2222BCAB，sin∠B3AC3333BCAB．∵AB1AB2AB3且B1C1＞B2C2＞B3C3，∴111BCAB＞222BCAB＞333BCAB．∴sin∠B1AC1＞sin∠B2AC2＞sin∠B3AC3．而∠B1AC1＞∠B2AC2＞∠B3AC3，而对于cos∠B1AC111ACAB，cos∠B2AC222ACAB，cos∠B3AC333ACAB．∵AC1＜AC2＜AC3，∴cos∠B1AC1＜cos∠B2AC2＜cos∠B3AC3．而∠B1AC1＞∠B2AC2＞∠B3AC3．由图②知sin∠B3AC33BCAB，∴sin2∠B3AC2323BCAB．∴1sin2∠B3AC12323BCAB222332233AC=ABBCABAB223ACAB．同理，sin∠B2AC22BCAB，1sin2∠B2AC222ACAB，sin∠B1AC12BCAB，1sin2∠B1AC221ACAB．∵AB3＞AB2＞AB1，∴223ACAB222ACAB221ACAB．∴1sin2∠B3AC＜1sin2∠B2AC＜1sin2∠B1AC．∴sin2∠B3AC＞sin2∠B2AC＞sin2∠B1AC．∵∠B3AC，∠B2AC，∠B1AC均为锐角，∴sin∠B3AC＞sin∠B2AC＞sin∠B1AC．而∠B3AC＞∠B2AC＞∠B1AC．而对于cos∠B3AC3ACAB，cos∠B2AC2ACAB，cos∠B1AC1ACAB．∵AB3＞AB2＞AB1，∴3ACAB＜2ACAB＜1ACAB．∴cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC．而∠B3AC＞∠B2AC＞∠B1AC．结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．(2)由(1)知sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°，cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88°．题三：答案：12．详解：已知等式平方得：(cosα+cosβ)2cos2α+2cosαcosβ+cos2β14①，(sinα+sinβ)2sin2α+2sinαsinβ+sin2β34②，①+②得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)1，即cosαcosβ+sinαsinβ12，则cos(αβ)cosαcosβ+sinαsinβ12．