关于复变函数的“中值定理”

1关于复变函数的“中值定理”袁媛01211114（徐州师范大学数学系徐州221116）摘要微分中值定理、积分中值定理在数学分析中占有重要地位，但并不能直接推广到复变函数中来.本文则利用构造函数法和复积分计算法，给出和证明了与实变函数中相对应的复柯西中值定理和积分中值定理.同时，给出了关于解析函数性质的新证法，并通过举例说明定理的应用.关键词复变函数；罗尔定理；积分中值定理；微分中值定理；柯西中值定理1引言众所周知，实变函数的微分中值定理（拉格朗日中值定理）、柯西中值定理与积分中值定理是微积分中三个很重要的定理，在数学分析中有着广泛的应用.数学分析中的许多命题及不等式的证明都是藉借这三个定理.但有反例表明这三个定理在复变函数中并不成立.比如罗尔定理，它的内容是：如果函数fx在闭区间,ab上连续，在开区间,ab内可导，且fafb，则必存在,ab，使得0f.这个定理在复变函数中并不成立，例如，取izfze，fz在整个复平面上解析，且02ff，但izfzie，无论z取什么值都不会为零，也就是说罗尔定理的结论对函数izfze不成立.故微分中值定理不能直接推广到复变函数中来.又如实函数的积分中值定理为：如果fx是区间,ab上的连续函数，gx在,ab上不变号，且可积，则bbaafxgxdxfgxdx，ab.特别地若1gx，则有bafxdxfba，ab.由此定理很容易推得：若连续函数fx在,ab内任意一点都不为零，则0bafxdx.此结论在复变函数中也不成立，取izfze，则fz在0,2上任意一点都不为零，且连续，但有220010izizedzei因此积分中值定理的推论在复变函数的积分中不成立.复变函数对中值定理的研究具有重要的意义，很多人都在做这方面的研究，并得到不少重要的结论，文[1]、文[2]就给出了罗尔定理、微分中值定理的结论可推广到解析函数fz的导数2fz的实部Refz和虚部Imfz.那么柯西中值定理、积分中值定理是否仍可象前面一样呢？2定义与引理定义设E是复平面上的一个点集，a，b是E上的任意两个不同的点，如果连接a，b的线段包含在E中，则E称为凸集.引理21设fz是定义在凸开集D上的解析函数，1z，2zD，12zz，12fzfz，则存在，12,zz使得Re0f和Im0f.引理32设fz是定义在凸开集D上的解析函数，1z，2zD，12zz，则存在，12,zz使得2121ReRefzfzfzz，2121ImImfzfzfzz.或者2121ReImfzfzfifzz.3主要定理定理1设fz，gz是定义在凸开集D上的解析函数，1z，2zD，12zz，12gzgz，则存在，12,zz使得2121ReRefzfzfggzgz，2121ImImfzfzfggzgz.证明令2121fzfzFzfzgzgzgz，显然12FzFz，因此由引理1，存在，12,zz，使得Re0F和3Im0F，但有2121fzfzFzfzgzgzgz，因此0ReF2121Refzfzfggzgz2121ReRefzfzfggzgz，即2121ReRefzfzfggzgz，和0ImF2121Imfzfzfggzgz2121ImImfzfzfggzgz，即2121ImImfzfzfggzgz.定理2设fz是定义在区域D上的解析函数，0fz，对zD，则fz是一个常数.证明设复常数zD，因为D是开集，所以存在以z为中心的某个开圆Nz，NzD，Nz是一个凸开集.设zNz，zz，由引理2，存在1z，2,zzz，使得1ReReRe00fzfzfzzz，和42ImImIm00fzfzfzzz.故0fzfzzz，即fzfz.因此，在Nz上，fzfz，由解析函数的唯一性定理，在区域D上，fzfz，即fz是一常数.推论设fz，gz是定义在区域D上的解析函数，且fzgz，对zD，则fzgzz（z为某一常数）.证明作辅助函数Fzfzgz，因,fzgz是定义在区域D上的解析函数，故Fz也为区域D上的解析函数，且0Fzfzgz，故由定理2可知Fzz（z为常数），因此fzgzz，即fzgzz.定理3设函数fz是凸区域D内的解析函数，1z，2z是D内的任意两点，则在1z与2z的连线段12zz上至少存在两点，使得2121ReImzzfzdzfifzz.证明因为fz是区域D内的解析函数，D为凸区域，所以1z与2z的连线段12zzD，12zz的方程121zzzzt，01t.5由复变函数积分计算法知211121210zzfzdzfzzztzzdt1211211210ReImzzfzzztifzzztdt11211212112100ReImzzfzzztdtzzifzzztdt.因为fz为解析函数，故121fzzzt必为t的连续函数，从而121Refzzzt及121Imfzzzt均为t的连续函数，由实函数中的积分中值定理，必存在，0,1使11211210ReRefzzztdtfzzz，11211210ImImfzzztdtfzzz.令12112zzzzz，12112zzzzz，则2121ReImzzfzdzfifzz.4应用举例例函数2,izfzegzz都在复平面C上解析，12120,2,,,zzzzC且12zz，当,0,2为何值时成立2121ReRefzfzfggzgz，2121ImImfzfzfggzgz.解取0,2,0,22，下面验证上式成立.ReReReRecossinRe0iffieiii212120ReRe20fzfzffgggzgzgg6202Re24Re00iiee故有2121ReRefzfzfggzgz.同理2ImImImImcossinIm10222iffieii212120ImIm202fzfzffgggzgzgg202Im4Im00iiee故有2121ImImfzfzfggzgz.参考文献[1]周翠莲、闫保英.变形的微积分中值定理[J].山东轻工业学院学报,1998,12（3）:74-76.[2]蒋本荣.罗尔中值定理在解析函数中的推广[J].上海工程技术大学学报,1994,8（3）:64-66.[3]曾韧英.关于复变函数的中值定理[J].重庆师范学院学报（自然科学版）,1998,6:46-47.[4]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1991.154-295.7TheMean-valueTheoremsfortheFunctionsoftheComplexVariableYuanYuan01211114(DepartmentofMathematics,XuzhouNormalUniversity,Xuzhou221116)AbstractThemean-valuetheoremforderivativeandmean-valuetheoremforintegraltakeupanimportantpositioninmathematicalanalysis,buttheycan’tbeusedinfunctionofcomplexdirectly.Bythedefinitionofauxiliaryfunctionandintegrationcalculationmethod,thepaperpresentsandprovesthemean-valuetheoremforintegralandCauchy’smean-valuetheoreminfunctionofcomplex.Meanwhile,anewmethodaboutthenatureofanalyticfunctionofacomplexvariableisobtained.Andanexampleisgiventoillustratetheapplicationsofthetheory.Keywordsfunctionofcomplexvariable;Rolletheorem;mean-valuetheoremforintegral;mean-valuetheoremforderivative;Cauchy’smeanvaluetheorem