28.1_锐角三角函数(一)同步测控优化训练(含答案)

28.1锐角三角函数（一）一、课前预习(5分钟训练)1.如图28-1-1-1所示，某斜坡AB上有一点B′，B′C′、BC是边AC上的高，则图中相似的三角形是______________，则B′C′∶AB′=______________,B′C′∶AC′=______________.2.在Rt△ABC中，如果边长都扩大5倍，则锐角A的正弦值、余弦值和正切值()A.没有变化B.都扩大5倍C.都缩小5倍D.不能确定3.在△ABC中，∠C＝90°，sinA=53，则sinB等于()A.52B.53C.54D.43二、课中强化(10分钟训练)1.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知tanB=25，则cosA等于()A.25B.35C.552D.322.如果α是锐角,且sinα=54,那么cos(90°-α)的值为()A.54B.43C.53D.513.在△ABC中，∠C＝90°，AC=2，AB=5，则cosB的值为()A.210B.510C.515D.51534.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=135,BC=15,则AC=______________.5.如图28-1-1-2,△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，求sinB的值.图28-1-1-2图28-1-1-1三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28-1-1-3,已知菱形ABCD，对角线AC=10cm,BD=6cm,，那么tan2A等于()A.53B.54C.343D.345图28-1-1-3图28-1-1-42.如果sin2α+cos230°=1,那么锐角α的度数是()A.15°B.30°C.45°D.60°3.如图28-1-1-4,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________.4.在Rt△ABC中，斜边AB=22,且tanA+tanB=22，则Rt△ABC的面积是___________.5.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且a=3,c=5,求∠A、∠B的三角函数值.6.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且b=6,tanA=1,求c.7.如图28-1-1-5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=53，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6cm，求AB、AD的长.图28-1-1-58.如图28-1-1-6，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D点，BE⊥AC于E点,AD=BC,BE=4.求:（1）tanC的值；（2）AD的长.图28-1-1-69.如图28-1-1-7,某人从山脚下的点A沿着斜坡走了1000米到达山顶B点，已知山顶到山脚的垂直距离为500米，求山坡的坡度.图28-1-1-7参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.如图28-1-1-1所示，某斜坡AB上有一点B′，B′C′、BC是边AC上的高，则图中相似的三角形是______________，则B′C′∶AB′=______________,B′C′∶AC′=______________.图28-1-1-1解析：由相似三角形的判定得△AB′C′∽△ABC，由性质得B′C′∶AB′=BC∶AB，B′C′∶AC′=BC∶AC.答案：△AB′C′∽△ABCBC∶ABBC∶AC2.在Rt△ABC中，如果边长都扩大5倍，则锐角A的正弦值、余弦值和正切值()A.没有变化B.都扩大5倍C.都缩小5倍D.不能确定解析：三角函数值的大小只与角的大小有关，当角度一定时，其三角函数值不变.答案：A3.在△ABC中，∠C＝90°，sinA=53，则sinB等于()A.52B.53C.54D.43解析：sinA=53,设a=3k,c=5k,∴b=4k.∴sinB=5454kkcb.答案：C二、课中强化(10分钟训练)1.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知tanB=25，则cosA等于()A.25B.35C.552D.32解析：tanB=25,设b=5k,a=2k.∴c=3k.∴cosA=3535kkcb.答案：B2.如果α是锐角,且sinα=54,那么cos(90°-α)的值为()A.54B.43C.53D.51解析：cos(90°-α)=sinα=54.答案：A3.在△ABC中，∠C＝90°，AC=2，AB=5，则cosB的值为()A.210B.510C.515D.5153解析：由勾股定理,得BC=3，∴cosB=51553ABBC.答案：C4.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=135,BC=15,则AC=______________.解析：∵sinA=135ABBC,BC=15,∴AB=39.由勾股定理,得AC=36.答案：365.如图28-1-1-2,△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，求sinB的值.图28-1-1-2分析：因为三角函数值是在直角三角形中求得，所以构造直角三角形就比较重要,对于等腰三角形首先作底边的垂线.解：过A作AD⊥BC于D,∵AB=AC,∴BD=2.在Rt△ADB中，由勾股定理,知AD=24262222BDAB，∴sinB=322ABAD.三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28-1-1-3,已知菱形ABCD，对角线AC=10cm,BD=6cm,，那么tan2A等于()图28-1-1-3A.53B.54C.343D.345解析：菱形的对角线互相垂直且平分，由三角函数定义,得tan2A=tan∠DAC=53.答案：A2.如果sin2α+cos230°=1,那么锐角α的度数是()A.15°B.30°C.45°D.60°解析：由sin2α+cos2α=1,∴α=30°.答案：B3.如图28-1-1-4,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________.图28-1-1-4解析：坡度=BCAC,所以BC=5，由割补法知地毯长=AC+BC＝7（米）.答案：７米4.在Rt△ABC中，斜边AB=22,且tanA+tanB=22，则Rt△ABC的面积是___________.解析：∵tanA=ACBC,tanB=BCAC,且AB2=BC2+AC2,由tanA+tanB=22,得ACBC+BCAC=22,即AC·BC=28.∴S△ABC=24.答案：245.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且a=3,c=5,求∠A、∠B的三角函数值.解：根据勾股定理得b=4,sinA=53,cosA=54，tanA=43;sinB=54,cosB=53，tanB=34.6.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且b=6,tanA=1,求c.解：由三角函数定义知a=btanA，所以a=6，根据勾股定理得c=26.7.如图28-1-1-5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=53，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6cm，求AB、AD的长.图28-1-1-5解：如题图，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°,∴BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，sinA=53,∴ABBC=53.∴AB=10.∴AC=2222610BCAB=8.∴AD=AC-CD=8-6=2.8.如图28-1-1-6，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D点，BE⊥AC于E点,AD=BC,BE=4.求:（1）tanC的值；（2）AD的长.图28-1-1-6解：（1）∵AB=AC,AD⊥BC,∴AD＝BC＝2DC.∴tanC=2.（2）∵tanC=2，BE⊥AC,BE=4,∴EC=2.∵BC2=BE2+EC2,∴BC=52.∴AD=52.9.如图28-1-1-7,某人从山脚下的点A沿着斜坡走了1000米到达山顶B点，已知山顶到山脚的垂直距离为500米，求山坡的坡度.图28-1-1-7解：∵AC2=AB2-BC2,∴AC=3500.∴tanA=33,即山坡的坡度为33.