弹性力学-TXLX12-薄板弯曲

12第十二章薄板弯曲概述第一节基本假设第二节基本方程第三节横截面上的内力第四节薄板的边界条件第五节薄板弯曲的直角坐标求解第六节圆形薄板的轴对称弯曲第七节变分法求薄板的位移3概述薄板区别于厚板。通常情况下，板的厚度t与板面的最小尺寸b的比值满足如下条件。81~511001~801＜＜bt则称为薄板。将坐标原点取于中面内的一点，x和y轴在中面内，z垂直轴向下，如图所示。xyzo我们把平分板厚度的平面称为中面。4当薄板受有一般载荷时，总可以把每一个载荷分解为两个分量，一个是垂直于中面的横向载荷，另一个是作用于中面之内的纵向载荷。对于纵向载荷，可认为它沿薄板厚度均匀分布，按平面应力问题进行计算。本章只讨论由于横向载荷使薄板弯曲所引起的应力、应变和位移。5第一节基本假设薄板小挠度弯曲问题，通常采用如下假设：（1）板厚不变假设yx,即：在垂直于中面的任一条法线上，各点都具有相同的挠度。（2）中面法线保持不变假设垂直于中面方向的正应变很小，可以忽略不计。即，由几何方程得，从而有：0z0zz6在变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，并垂直于弯曲后的中面。即0,0yzxz（3）板面为中性层假设即0,000zzvu由几何方程得0,0,0000zxyzyzx（4）应力对变形的影响很小，可以略去不计。亦即认为0zz7第二节基本方程按位移求解薄板弯曲问题。取薄板挠度为基本未知量，把所有其它物理量都用来表示。（1）几何方程在薄板的中面上取一微小矩形ABCD如图所示。它的边长为dx和dy，载荷作用后，弯成曲面A’B’C’D’。设A点的挠度为，弹性曲面沿x和y方向的倾角分别为和，则yxdxxwywdyyzDCBAABxCD8B点的挠度为dxxD点的挠度为dyy由和可知00yzxz0,0ywzvxwzu或写成ywzvxwzu,对z进行积分，并利用，得0,000zzvuzywvzxwu,于是应变分量用表示为:zywyvzxwxuyx2222zyxwxvyuxy229小变形下，由于挠度是微小的，弹性曲面在坐标方向的曲率可近似地用挠度表示为:yxwkywkxwkxyyx222222所以应变分量又可写成zkzkzkxyxyyyxx10（2）物理方程不计所引起的应变，物理方程为：zxyxyxyyyxxEEE1211把应力分量用应变分量表示，得：xyxyxyyyxxEEE12112211（3）弹性曲面微分方程在不计体力的情况下，由平衡方程的前二式得：上式说明，主要的应力分量沿板的厚度线性分布。xyyx,,将应力分量用挠度表示，得：zyxEzxyEzyxExyyx2222222222211112xyzyxzxyyzyyxxzx将应力分量用挠度表示的物理方程代入上式，并化简得：222211yEzzxEzzzyzx由于挠度不随z变化，且薄板在上下面的边界条件为：0,022tzzytzzx13将上列二式对z进行积分，得：2222412xtzEzx2222412ytzEzy再由平衡微分方程第三式，得：yxzzyzxz将用挠度表达式代入，并化简得：zyzx,4222412ztEzz（1）14由于挠度不随z变化，且薄板有边界条件:02tzz将（1）式对z积分，得:422312116tztzEtz设在薄板顶面上每单位面积作用的载荷q(包括横向面力和横向体力），板上面的边界条件为:qtzz2将的表达式代入该边界条件，得薄板挠曲微分方程:zDq415其中23112EtD称为薄板的弯曲刚度。薄板挠曲微分方程也称为薄板的弹性曲面微分方程，它是薄板弯曲问题的基本微分方程。16第三节横截面上的内力在薄板横截面上取一微分六面体，其三边的长度分别为,如图所示。在垂直于x轴的横截面上，作用着正应力和剪应力。由于和在板厚上的总和为零，只能分别合成为弯矩和扭矩；而只能合成横向剪力。tdydx,,xxxyxMxyMxzxy,xzxQ2t2tdydx显然，在垂直于x轴的横截面上，每单位宽度之值如下：17dzQzdzMzdzMttxzxttxyxyttxx222222同理dzQzdzMzdzMttxzyttyxyxttyy22222218将上节给出的应力分量与挠度之间关系代入，并积分得：222222222221yDQxDQyxDMMxyDMyxDMyxyxxyyx上式称为薄板弯曲问题中内力与变形之间的弹性方程。19利用应力分量与挠度之间的关系、薄板挠曲微分方程以及内力与形变之间的弹性方程，消去，可以给出各应力分量与弯矩、扭矩、剪力、载荷之间的关系。tztzqzttQzttQztMztMztMyyyzxxzxyxyyyxx121246461212,12222322333320显然，沿着薄板的厚度，应力分量的最大值发生在板面，和的最大值发生在中面，而之最大值发生在载荷作用面。并且，一定载荷引起的应力分量中，在数值上较大，因而是主要应力；及数值较小，是次要的应力；挤压应力在数值上最小，是更次要的应力。因此，在计算薄板的内力时，主要是计算弯矩和扭矩。xyyx,,xzyzzxyyx,,xzyzz21第四节薄板的边界条件以图示矩形板为例：OxyABabC1、固定边假定OA边是固支边界，则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即：00x00xx2、简支边假设OC边是简支边界，则边界处的挠度和弯矩My22等于零。即：0,000yyyM由于2222xyDMy且在OC上00y即022x则简支边OC边界条件可写成：00y0022yy233、自由边板边CB为自由边界，则沿该边的弯矩、扭矩和横向剪应力都为零，即：000axxaxxyaxxQMM由于扭矩可以变换为等效的剪力，故第二及第三个条件可合并为：0axxyxyMQ24将Mx、Qx、Mxy与的关系代入，得自有边界CB的边界条件为：02023332222axaxyxxyx25第五节薄板弯曲的直角坐标求解用位移法求解薄板弯曲问题，通常采用半逆解法。首先设定具有待定系数的薄板挠度的表达式；其次利用薄板曲面微分方程和边界条件，确定待定常数；最后由挠度与应力分量的关系，求得应力分量。例1试求边界固定的椭圆形薄板在承受均布载荷q后的最大挠度和最大弯矩。aboxy解：在图示坐标下，椭圆薄板的边界方程为:12222byax26设挠度的表达式为:222221byaxC其中C为常数。设n为薄板边界外法线，则在薄板的边界上应有:0,0n注意到ynyxnxn,cos,cos0sincos14222222byaxbyaxC显然所设挠度的表达式满足固定边界条件。27将挠度的表达式代入弹性曲面微分方程Dq4得:422403238bbaaDqC从而422422222032381bbaaDbyaxq内力2222yxDMx24222222224213134bbybaxabayaxCD282222xyDMy24222322224213134aaxbaybbaxbyCDyxDMxy212218baxyCD最大挠度为:Cyx0,0max最大弯矩为（设ab):2,0max8bCDMMbyxy其中2342240112,3238EtDbbaaDqC29例2、试求图示四边简支，承受均布载荷的矩形薄板之最大挠度。0q解：取图示坐标系设axmyYmmsin1则在x=0及x=a边界上，边界条件0,022x自然满足。将的表达式代入弹性曲面微分方程Dq42b2baoxyo0qxz30得DqxamYamYamYmmmm01424sin2将展为傅立叶级数0qaxmyFqmmsin10其中dxaxmqayFamsin2000mq04m为偶数m为奇数则取微分方程的特解为：5,3,1420424mmDqyYamyYamyYmmm5,3,145540mmDaqyYm★31并注意到挠度是y的偶函数，则非齐次线性常微分方程的一般解为:5,3,145540mmDaqaymshaymBaymchAyYmmm利用边界条件(已用对称性）处，得2by0,022y0222225540mmAabmchDmaqabmthabmA0225540mmBabmchDmaqB5,3,1k6,4,2k32挠度的表达式：axmabmchaymshbymaymchabmthabmmDaqmsin222411145,3,15540abmchabmthabmmDaqmmyax22222114,5,3,152154002max若a=b，则004.0314.04540maxDaq可见，在级数中仅取两项，就可以达到较高的精度。33第六节圆形薄板的轴对称弯曲求解圆板弯曲问题时，采用极坐标较方便。如果圆形薄板所受的横向载荷是绕z轴对称的（z轴垂直板面朝下），则该弹性薄板的位移也将是绕z轴对称的，即只是r的函数，不随而变。一、弹性曲面微分方程参照直角坐标下的弹性曲面微分方程。极坐标下，圆形薄板轴对称弯曲时，曲面微分方程可写成：Dq22或Dqdrdrdrddrdrdrd11222234二、内力展开后得：该微分方程的通解为Dqdrdrdrdrdrdrdrd32223344112★423221lnlncrcrrcrc其中是任意一个特解。★从薄板内取出一个微分单元体，图示。在r为常量