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1Time-VaryingElectromagneticField第四章时变电磁场下页电磁感应定律和全电流定律正弦电磁场序电磁辐射电磁场基本方程、分界面上的衔接条件动态位及其积分解返回坡印廷定理和坡印廷矢量4.0序Introduction在时变场中，电场与磁场都是时间和空间坐标的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁场相互依存构成统一的电磁场。英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的麦克斯韦方程组高度概括。麦克斯韦方程组是研究宏观电磁场现象的理论基础。下页上页返回时变场的知识结构框图：下页上页返回磁通连续性原理高斯定律电磁感应定律全电流定律Maxwell方程组坡印廷定理与坡印廷矢量正弦电磁场ϕ动态位A,分界面上衔接条件达朗贝尔方程电磁辐射、传输线及波导本章要求深刻理解电磁场基本方程组的物理意义，其中包括位移电流的概念；掌握动态位与场量的关系以及波动方程，理解电磁场的滞后效应及波动性；掌握电磁波的产生和传播特性。下页上页返回4.1.1电磁感应定律（Faraday’sLaw）当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势，这就是法拉弟电磁感应定律。电磁感应定律：teddψ−=负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化。Faraday’sLawandAmpere’sCircuitalLaw4.1电磁感应定律和全电流定律图4.1.1感生电动势的参考方向下页上页返回1.回路不变，磁场随时间变化SBddd⋅∂∂−=−=∫Stteψ又称为感生电动势，这是变压器工作的原理，亦称为变压器电势。图4.1.2感生电动势根据磁通变化的原因，分为三类：e下页上页返回22.磁场不变，回路切割磁力线lBνd)(dd⋅×=−=∫lteψ称为动生电动势，这是发电机工作原理，亦称为发电机电势。图4.1.3动生电动势下页上页返回3.磁场随时间变化，回路切割磁力线SBlBνdd)(dd⋅∂∂−⋅×=−=∫∫Sltteψ实验表明：只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。与构成回路的材料性质无关（甚至可以是假想回路），当回路是导体时，有感应电流产生。e下页上页返回4.1.2感应电场（InductedElectricField）麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该电场对电荷有作用力（产生感应电流），称之为感应电场。∫∫∫⋅∂∂−=⋅×∇=⋅SBSElEdd)(diitslt∂∂−=×∇BEi图4.1.4变化的磁场产生感应电场在静止媒质中lEdi⋅=∫le感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场是产生的涡旋源，故又称涡旋电场。iEt∂∂B下页上页返回图4.1.5变化的磁场产生感应电场t∂∂−=×∇BE若空间同时存在库仑电场,即则有,iEEE+=C表明不仅电荷产生电场，变化的磁场也能产生电场。下页上页返回根据自然界的对偶关系，变化的电场是否会产生磁场呢？思考0dd2=⋅=⋅∫∫SlSJlH4.1.3全电流定律（Ampere’sLaw）图4.1.6交变电路用安培环路定律问题的提出iSl=⋅=⋅∫∫1ddSJlH思考经过S1面经过S2面il=⋅∫lHd下页上页返回为什么相同的线积分结果不同？电流不连续吗？原因所在？电流连续性原理0)(=×∇⋅∇HStokes’theorem∫∫⋅=⋅SlSJlHdd矢量恒等式SDJlHd)(d⋅∂∂+=⋅∫∫tSl0)(=×∇⋅∇H矢量恒等式恒定场时变场下页上页返回0=⋅∇JJH=×∇所以tt∂∂⋅−∇=∂∂−=⋅∇DJρ因为0)(=∂∂+⋅∇tDJ所以t∂∂+=×∇DJH所以3SDJlHd)(d⋅∂∂+=⋅∫∫Slt变化的电场产生位移电流（DisplacementCurrent），电流仍然是连续的。∫∫=∂∂=∂∂=⋅∂∂22ddSSitqSttσSDiS=⋅∫SJd1=下页上页返回图4.1.7交变电路用安培环路定律全电流定律不仅传导电流产生磁场，变化的电场也能产生磁场。麦克斯韦预言电磁波的存在。t∂∂+=×∇DJH微分形式dcd)(diitlS+=⋅∂∂+=⋅∫∫SDJlH积分形式其中，——位移电流密度dJtD=∂∂下页上页返回解：忽略边缘效应和感应电场dtuEDduE)(,εε===位移电流密度位移电流)dd(dtudtDJε=∂∂=cddd)dd(dituCtudSiS===⋅=∫εSJ电场例4.1.1已知平板电容器的面积S,相距d,介质的介电常数，极板间电压u(t)。试求位移电流id；传导电流ic与id的关系是什么?ε图4.1.8传导电流与位移电流下页上页返回∫=⋅sqSDd0d=⋅∫SSBSBlEdd⋅∂∂−=⋅∫∫lStSDJlHd)(d⋅∂∂+=⋅∫∫lSt4.2.1电磁场基本方程组(MaxwellEquations)综上所述,电磁场基本方程组t∂∂+=×∇DJHt∂∂−=×∇BE0=⋅∇Bρ=⋅∇D全电流定律电磁感应定律磁通连续性原理高斯定律MaxwillEguationsandBoundaryConditions全电流定律：麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场。电磁感应定律：麦克斯韦第二方程，表明电荷和变化的磁场都能产生电场。磁通连续性原理：表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线。高斯定律：表明电荷以发散的方式产生电场(变化的磁场以涡旋的形式产生电场)。4.2电磁场基本方程组·分界面上的衔接条件下页上页返回构成方程EJγ=SDJlHd)(d⋅∂∂+=⋅∫∫lStSBlEdd⋅∂∂−=⋅∫∫lSt0d=⋅∫SSB∫=⋅SqSDd下页上页返回麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方程可以从中推得。静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。EDε=HBμ=时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类似，归纳如下：4.2.2分界面上的衔接条件(BoundaryConditions)KHH=−1t2tn2n1BB=磁场：t1t2EE=σ=−n1n2DD电场：折射定律2121tantanμμαα=2121tantanεεββ=下页上页返回4,0)(==常数得CB结论:在理想导体内部无电磁场，电磁波发生全反射。图4.2.1媒质分界面例4.2.1试推导时变场中理想导体与理想介质分界面上的衔接条件。分析：在理想导体中,0=∂∂−=×∇tBE由下页上页返回,00,0≠∂∂→≠tBCBC的建立过程中必有由若为有限值，当EJγ=,∞→γ0=E。。0=B只有所以则即,,,0∞→=≠EJEγ根据衔接条件σ=−n1n2DD0n1n2==BB分界面介质侧的场量0t=Eσ=nDKH=t0n=B导体表面有感应的面电荷和面电流。下页上页返回0t1t2==EEKHH=−t1t24.3.1动态位及其微分方程(KineticPotentialsandDifferentialEquations)从Maxwell方程组出发,t∂∂−=×∇BE由0)(=∂∂+×∇tAEϕ∇−=∂∂+tAE称为动态位，是时间和空间坐标的函数。ϕ,A0=⋅∇B由AB×∇=KineticPotentialsandIntegralSolutions4.3动态位及其积分解下页上页返回t∂∂×−∇=A)(A×∇∂∂−=t)(1ϕεμ∇−∂∂−∂∂+=×∇×∇→ttAJAρϕε=∇−∂∂−⋅∇→)(tA经整理后，得t∂∂+=×∇DJH由ρ=⋅∇D由ερϕ−=⋅∇∂∂+∇At2（2）tt∂∂∇+⋅∇∇+−=∂∂−∇ϕμεμεμ)(222AJAA（1）洛仑兹条件t∂∂−=⋅∇ϕμεA定义A的散度下页上页返回达朗贝尔方程(DalangbaierEguation)ερϕμεϕμμε−=∂∂−∇−=∂∂−∇222222ttJAA思考JAμ−=∇2ερϕ/−=∇2下页上页返回洛仑兹条件是电流连续性原理的体现。若场量不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程简化了动态位与场源之间的关系;确定了的值，与共同确定A；A⋅∇AB×∇=4.3.2动态位方程的积分解（IntegralSolutionsofKineticPotentials）以时变点电荷为例0222=∂∂−∇tϕμεϕ（除坐标原点外）22222)(1)(,trvrr∂∂=∂∂ϕϕϕ展开为具有球对称性)(1)(121)(vrtfrvrtfrt++−=ϕ通解为返回下页上页式中具有速度的量纲，f1，f2是具有二阶连续偏导数的任意函数。με1v=5tvrrtttΔ+→Δ+→信号从当时间从,)()(11vrtfvtvrttf−=Δ+−Δ+有1.通解的物理意义)(1)(121)(vrtfrvrtfrt++−=ϕ或者说，t时刻的响应是时刻的激励所产生。这是电磁波的滞后效应。)(vrt−的物理意义)(1vrtf−说明f1以有限速度向方向传播，称之为入射波。νr图4.3.1入射波下页上页返回有时信号从当时间从,,tvrrtttΔ−→Δ+→)()(22vrtfvtvrttf+=Δ−+Δ+在无限大均匀媒质中没有反射波，即f2=0。的物理意义)(2vrtf+图4.3.2波的入射、反射与透射下页上页返回说明：f2在时间内,以速度向(-)方向前进了tΔtvΔνr距离，故称之为反射波。由此推论，时变点电荷的动态标量位为2.动态位的积分的表达式根据叠加定理，连续分布电荷产生的标量位为VrvrtzyxtzyxV′−′′′=∫′dπ4),,,(),,,(ερϕ无反射的特解为02=∇ϕ静电场中，ϕrvrtqtεϕπ4)()(−=无反射rqεϕπ4=（无限大均匀媒质）下页上页返回若激励源是时变电流源时VrvrtzyxtzyxV′−′′′=∫′d),,,(π4),,,(JAμ（无反射）电磁波是以有限速度传播的，光也是一种电磁波。με1=v达朗贝尔方程解的形式表明：t时刻的响应取决于时刻的激励源。又称为滞后位（RetardedPotential）。)/(vrt−ϕ，A当场源不随时间变化时，蜕变为恒定场中的位函数。ϕ，A下页上页返回4.4.1坡印廷定理（PoyntingTheorem）在时变场中，能量密度为体积V内储存的能量为HBED⋅+⋅=+=2121me（1）VHBEDVd21d∫∫⋅+⋅==VVwW）（（2）PoyntingTheoremandPoyntingVector4.4坡印廷定理和坡印廷矢量下页上页返回电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律——坡印廷定理；坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。)2121(HBED⋅+⋅∂∂=∂∂ttw)()(EHJHEBHDE×∇⋅−−×∇⋅=∂∂⋅+∂∂⋅=tt))((JEHE⋅+×⋅∇−=∂∂tw代入式(3)得∫∫∫⋅−⋅×−=∂∂=∂∂VVStwtWVJESHEVdd)(d式(2)对t求导，则有)()()(HEEHHE×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇矢量恒等式Vd∫∂∂=∂∂VtwtW（3）下页上页返回6∫∫⋅−⋅×−=∂∂VSVtWdd)(JESHE整理得代入上式第二项将若体积内含有电源，则,/,)(eeEJEEEJ−=+=γγ物理意义：体积V内电源提供的功率，减去电阻消耗的热功率，减去电磁能量的增加率，等于穿出闭合面S的电磁功率。tWVJVVVS∂∂−−⋅=⋅×∫∫∫ddd)(2eγJESHE坡印廷定理下页上页返回VJVSVVddd)(2e∫∫∫−⋅=⋅×γJESHE恒定场中的坡印廷定理注意：磁铁与静电荷产生的磁场、电场不构成能量的流动。在恒定场中，场量是动态平衡下的恒定量，能量守恒定律为：坡印廷定理下页上页返回tWVJVVVS∂∂−−⋅=⋅×∫∫∫ddd)(2eγJESHE表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称为功率流密度，S的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。4.4.2坡印廷矢量(PoyntingVector)HES×=W/m2定义坡印廷矢量下页上页返回4.4.1电磁波的传播例4.4.1用坡印廷矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设电缆为理想导体，内外半径分别为a和b。解:理想导体内部电磁场为零。电场强度ρρeE)/ln(abU=φρeHπ2I=zIabUeHESρ