函数的概念及换元法文档

函数的概念一．预备知识（对应：多对一与一对一、一对多）对应是有方向性的。找对应:生活中的实例一对一：学生与学号多对一：学生与老师一对多：班级与班级内的学生、老师与学生抽象到数集之间的对应（大量举例子）函数的本质是运算，核心是对应：即对于自变量，按照什么样的对应法则去计算其函数值；运算的本质是“位置”：运算中涉及的量处在运算式中的哪个“位置”上，该“位置”应该遵循什么样的运算规则及在哪个范围内取值.必须满足多对一与一对一的对应（一）运算1.基本运算及其逆运算许多运算式虽然很复杂，但仔细观察就会发现，它们都是由以下几种基本运算及其逆运算以不同的方式构造而成：正运算逆运算加法/减法运算23?（加法运算）2?5：52?（减法运算）乘法/除法运算23?（乘法运算）2?5：52?（除法运算）乘方/开方运算32?（乘方运算）3?8：38?（开方运算）指数/对数运算32?（指数运算）?28：2log8?（对数运算）三角函数运算（三角函数运算）（反三角函数运算）逆运算实质上就是对正运算所形成的等式解方程2.运算的本质是“位置”：①.运算，实质上都是对“位置”进行运算：对运算中的各个“位置”赋予不同的值，改变的是运算的结果，而没有改变运算的法则.1,32,3134?235ababab232,22,324?28bababa②.“位置”确定作用：参与运算的量在运算中处于哪个位置，确定了它在运算起什么样的作用.正运算逆运算加法/减法乘法/除法乘方/开方指数/对数③.“位置”确定取值范围：参与运算的量处于运算中的哪个位置，就要遵循这个“位置”对取值的要求.在加法运算?ab中，任意两实数都可以做加法运算，所以被加数与23?和是多少加谁对谁加2?5：52?对谁减减谁差是多少23?积是多少加谁对谁乘2?5：52?除以谁商是多少32?幂是多少做几次乘方运算对谁做乘方运算3?8：38?开几次方对谁做开方运算方根是多少32?幂是多少做几次指数运算对谁做指数运算?28：2log8?对谁除对谁做指数运算做几次指数运算幂是多少加数都可以取任意实数；在除法运算?ab中，分母不能为0，所以0b；在开平方运算?a中，由于它是平方运算2?a的逆运算，是一个完全平方数，所以0a；在对数运算2log?a中，由于它是指数运算?2a的逆运算，因为?20，所以0a；3.位置与赋值：对任意一个运算“位置”，可在该“位置”允许的取值范围内任意赋值，不同的赋值就可以得到不同的运算结果：?yx：32,1yxyx，95,4yxyx；?yx：12,1yxyx，83,2yxyx?sinx：0sin0xx，22sin4xx如果用一个变量x表示某个运算“位置”上的值，并固定其它运算“位置”上的值，则运算结果这个“位置”所得到的就是关于变量x的一个函数)(xf：加法运算：固定加数，用变量x表示被加数，则可得到函数bxxf)(乘法运算：固定乘数，axxf)(除法运算：固定被除数，用变量x表示除数，则可得到函数()afxx（反比例函数）固定除数，用变量x表示被除数，则可得到函数1()fxxa（正比例函数）幂运算：固定底数，用变量x表示指数，则可得到函数()xfxa（指数函数）固定指数，用变量x表示底数，则可得到函数()afxx（幂函数）对数运算：固定底数，用变量x表示真数，则可得到函数()logxfxa（对数函数）三角函数运算：用变量x表示角，则可分别得到函数()sinfxx,()cosfxx,()tanfxx（三角函数）由此可见，常见的几种基本初等函数，实际上就是由加法、减法、乘方、开方、指数对数、三角函数这几种基本运算固定运算中的某些位置而得到的.（二）.函数概念（核心就是对应：多对一与一对一）由函数的定义可知,所谓函数,就是对于自变量x，按照什么样的对应法则去计算其函数值y；运算的本质是“位置”：运算中涉及的量处在哪个位置上，就要遵循该“位置”的运算规则及其对取值范围的要求.因此,在研究函数时应搞清三个问题:1.对谁运算(定义域)：函数的本质是运算，函数解析式中所涉及到的运算中，自变量或关于自变量的式子处在哪种运算中的什么位置上，就要遵循这些位置的对取值范围的要求，所有这些取值范围的交集就是函数的定义域.如：xxxf11)()00101001xxxxxx或2.如何运算(对应法则)：符号f(x)的理解自变量实质上表示的就是一个“位置”，对应法则就是对自变量位置上的数或式子按对应法则进行运算。至于自变量用哪个字母表示，对函数并没有实质性的影响，如2)(xxf，2)(ttf，2)(mmf虽然表示自变量的字母不同，但自变量的取值范围相同（都是R），2)(xxf对应法则f：表示对自变量x位置上数或式子做平方运算x表示自变量的位置将x换成242)2(2f将x换成t2)(ttf将x换成（x+1）2)1()1(xxf这个位置要求：01x这个位置要求：0x函数的对应法则相同，自变量在运算中位置相同，因此它们是同一个函数。xxf1)(对应法则f：表示对自变量x位置上数或式子取倒数x表示自变量的位置将x换成221)2(f将x换成tttf1)(11)1(xxfx处在分母的位置上，所以x≠0x+1处在分母的位置上，所以x+1≠0t处在分母的位置上，所以t≠0将x换成（x+1）xxf)(对应法则f：表示对自变量x位置上数或式子取算术平方根x表示自变量的位置将x换成22)2(f将x换成tttf)(1)1(xxfx处在被开方数的位置上，所以x≥0x+1处在被开方数的位置上，所以x+1≥0t处在被开方数的位置上，所以t≥0将x换成x+1（平方、分段、常函数、D函数）3.运算结果：对于自变量的任一允许值x，所有对应的函数值y的集合就是函数的值域.函数的值域由函数定义域和对应法则f确定.函数问题常以以下三种形式呈现：①知x知f求y；②知x知y求f；③知f知y求x即“知二求一”三．研究函数问题的方法及流程（一）.三个问题1．对谁运算---自变量的取值范围就是函数的定义域2．对应法则---如何由自变量的值取得对应的函数值3．运算结果---函数值如何随自变量的变化而变化的，所有函数值的集合就是函数的值域.问题的呈现形式：知二求一：①知x知f求y，②知x知y求f③知y知f求x（二）.五种方法1．分类：看到字母想分类2．图象：看图说话3．换元：将复杂的函数化归为已知函数（如基本初等函数）--画出图象或示意图--看图说话4．解方程：求值即解方程5．互逆运算：将逆运算化归为正运算（三）.流程研究函数问题的流程：是是否基本初等函数？对谁运算画图象否能否化为基本初等函数？（分类、化简、换元）否看性质画图象示意图画图象是看图说话换元法及其应用一.预备知识1.直接关系与间接关系函数()yfx中，自变量x与函数值y之间的关系有两种：一种是直接关系，如：2yx，这里，y的值由自变量x平方直接得到，x与y之间是直接关系；另一种是间接关系，如：2(1)yx，这里，y的值的需要经过两步获得：第一步，自变量x的值加强1，得到一个量1tx，第二步，对t做平方运算，即：21txytxtyx与t之间、t与y之间是直接关系,而x与y之间是间接关系,y与x之间的关系是通过中间变量1tx而建立的.一般地，形如[()]yfux的函数中，函数值y要通过两上步骤获得：()()tuxyftxty，x与y之间是一种间接关系，而x与t之间、t与y之间是直接关系.对这类间接关系问题，通常我们要通过x与t之间、t与y之间的关系，来研究x与y之间的关系.这实际上就是换元的思想.2.同一函数（相等函数）：函数的本质是运算，即对于自变量，按照什么样的运算法则得到对应的函数值；而运算的本质是“位置”，即所涉及到的量处于哪种运算的什么位置。在函数()yfx中，自变量实际上起着一个“位置”的作用：对于自变量这个“位置”上的每一个值，都是按照同一个法则，去得到的值，因此，自变量用哪个字母来表示，对对应法则f并没有影响.如f（t）=t2；f（x）=x2；两个函数中，虽然自变量所用的字母不同，但两个自变量取值范围相同、自变量所在位置相同、运算法则相同（都是对自变量这个位置上的数做平方运算），因此，它们是同一个函数。二.换元法1.用换元法构造新函数2()ftt如果自变量t取的是具体的数值，所得到的就是所对应的函数值，如果自变量t取的是关于另一个变量x的代数式，如1tx：依然是按照前面的法则进行相同的运算并将其结果赋给y2(1)(1)fxx这样就得到了一个新的函数，我们用()gx表示这个新函数，即2()(1)(1)gxfxx，这里，()gx实际上就是由()fx经1tx换元构造出的一个新函数.为便于叙述，把()ft称为原函数，t称为原自变量（为区别起见，这里自变量用字母t表示），把()gx称为新函数，x称为新自变量。观察()gx的运算过程：t处在自变量的位置上f（t）的意义就是对自变量位置上的数或代数式做平方运算并将其结果赋给y。f是函数的对应法则x-1处在自变量的位置上对自变量位置上x-1做平方运算并将其结果果赋给y。f是函数的对应法则①自变量x取值→②计算1x的值并将其赋给t→③计算()ft的值并赋给y1()txyftxty2()(1)(1)gxfxx一般地，对原函数()yft，经()tux换元可得到新函数()[()]gxfux，新函数的运算过程如下：()()tuxyftxty这样，可以由简单的函数构造出复杂的函数，考试中遇到的许多复杂的函数就是用这种方式构造而成的：22()()()()txafttgxfxaxa111()()()1txftgxfxatx11()2()(1)2txtxftgxfx122()log()(1)log(1)txfttgxfxxsin22()()(sin)sinsintxftatbtcgxfxaxbxc2()()(2)2xtxxfttbgxfb2()()(2)2xtxxftatgxfasinsin()txytyx反过来，对于形如()[()]gxfux的函数，则可以看作由原函数()ft经()tux换元f是原函数的法则，但不是新函数的法则x是g（x）的自变量x不是f（x）的自变量，x-1作为一个整体处于f（x）的自变量位置上，可视作ｔ的一个取值g是新函数的法则：自变量先减1再平方而得到的新函数，我们可以通过()ft来研究()ygx的有关性质.22()():txaytgxxaxty111():1ytxtgxxtyx121()2:ttxyxgxxty2log12()log(1):yttxgxxxty2sin2()sinsin:txyatbtcgxaxbxcxty2()2:xtytbxgxbxty2()2:xtyatxgxaxtysinsin():txytyxxty对于这样的函数，我们只要搞清楚它的原函数是谁，变换关系怎样，即搞清楚这些复杂的函数是由哪个函数经过怎样的换元构造而成的，就可以通过原函数与变换关系来研究新函数.在由原函数()ft构造新函数()[()]gxfux的过程中，()tux是联结原函数与新函数的桥梁，它