洛必达法则详解

信息学院罗捍东1可能存在也可能不存在，通常称这类的极限为未定式，简记为。当时，如果函数f(x)和g(x)的极限都为零或都趋于无穷大，则极限例如：,tanlim0xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()(()xax或()lim()fxgx00或其它型的未定式还有：000,,1,0,第二节洛必达法则信息学院罗捍东2定理：洛必达法则()()limlim.()()xaxafxfxgxgx那末00型未定式(1)lim()lim()0;xaxafxgx设:(2)(),()()0;fxgxagx在点的某去心邻域内可导,且()(3)lim();()xafxgx存在或4.2.1信息学院罗捍东3证：补充定义f(a)=g(a)=0。则有()()()()()()fxfxfagxgxga()()fg)(之间与在ax,,aax时当()lim,()xafxAgx()lim,()afAg()()limlim.()()xaafxfAgxg则f(x)、g(x)在区间[a,x](或[x,a])上满足柯西定理。信息学院罗捍东4x()()limlim.()()xxfxfxgxgx2)当时，罗必塔法则也成立。即注意：1)罗必塔法则中极限A可以是无穷大。信息学院罗捍东5例1:求解:332232lim.28xxxxxx333222323232limlim2828xxxxxxxxxxxx9.10)00(22233lim322xxxx信息学院罗捍东6例2:解:0tan2lim.sin3xxx求)00(00tan2tan2limlimsin3sin3xxxxxx20(sec2)22lim(cos3)33xxx信息学院罗捍东7例3:解:.1arctan2limxxx求arctan2lim1xxx22lim11xxx)00(2211lim1xxx信息学院罗捍东8如果仍然是未定式极限，且也满足罗必塔法则的条件，则可继续使用罗必塔法则。即()()()limlimlim.()()()xaxaxafxfxfxgxgxgx()()fxgx(),()fxgx信息学院罗捍东902limsinxxxeexxx例4:解:02limsinxxxeexxx02lim1cosxxxeex0lim2cosxxxeex0limsinxxxeex)00()00()00(信息学院罗捍东10例5：解：0coslimsinxxexxx求0coslimsinxxexxx0sinlimsincosxxexxxx0coslimcoscossinxxexxxxx1111100coslimsinxxexxx0sinlimsincosxxexxxx正解：信息学院罗捍东11例6：解：201sinlimsinxxxx求正解：222001111sin2sincos()limlimsincosxxxxxxxxxxx2001sin1limlimsin100sinsinxxxxxxxxx0112sincoslimcosxxxxx不存在信息学院罗捍东12注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用（特别是利用等价无穷小量替换），效果更好。例7：解：20tanlim.tanxxxxx求2300tantanlimlimtanxxxxxxxxx220tan1lim33xxx22031seclimxxx利用等价无穷小量替换信息学院罗捍东13考研题欣赏2006（四、19）试确定常数A、B、C的值使得：2311xeBxCxAxox3ox其中是当时比高阶无穷小。3x0x解:根据题设和罗必达法则，由于230110limxxeBxCxAxx22012lim3xxeBBxCxCxAx2分信息学院罗捍东14202124lim6xxeCBBCxCxx042lim6xBCCx10221040BABCBC得解得121,,336ABC10分8分信息学院罗捍东15定理：洛必达法则(1)lim()limg();(2)(),g()g()0;()(3)lim();g()()()limlim.g()g()xaxaxaxaxafxxfxxaxfxxfxfxxx设:在点的某去心邻域内可导,且存在或那末型未定式4.2.2信息学院罗捍东16例8:求解:0lnsinlim,,0.lnsinxaxabbx001coslnsinsinlimlim1lnsincossinxxaaxaxaxbxbbxbx)(0tanlimtanxabxbax220seclim1secxabbxbaax)00(信息学院罗捍东17例9：解：.3tantanlim2xxx求2222tanseclimlimtan33sec3xxxxxxxxx222cos3coslim31xxxxxsincos23sin3cos6lim312xxx2sin6sinlim226cos6lim32cos2xxx)(信息学院罗捍东182seclimtanxxx求2seclimtanxxAx设例10：解：222sectanseclimlimtansecxxxxxAxx2tan1limsecxxxA2seclim1tanxxAx22sec1limlim1tansinxxxxx正解：信息学院罗捍东19关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.步骤:0(),()01.0型0001,00.10或4.2.3其它型未定式信息学院罗捍东20例11:解:.lim2xxex求)0(22limlimxxxxexex2limxxe.lim2xxex)(信息学院罗捍东21例12:解:).1sin1(lim0xxx求)(0011sinlim().limsinsinxxxxxxxx0sinlim0coscossinxxxxxx步骤:2.型11000000)00(01coslimsincosxxxxx信息学院罗捍东22有关考研题2005（15）011lim1xxxex求2004（15）22201coslimsinxxxx求信息学院罗捍东23步骤:.0001,03.,型001ln100ln00ln取对数信息学院罗捍东24例13:解:.lim111xxx求)1(111111lnlimlimxxxxxxexxxe1lnlim111lim1xxe.1e信息学院罗捍东25例14:解:.lim0xxx求)0(000lnlimlimxxxxxxe021lim1xxxe001lim()xxee01lnlimxxxe信息学院罗捍东26例15:解：.)(cotlimln10xxx求)(01ln1ln(cot)ln(cot)ln(cot),lnlnxxxxxx取对数得0ln(cot)limlnxxxxxxx1sin1cot1lim200lim1,cossinxxxx11ln0lim(cot).xxxe信息学院罗捍东27考研题欣赏（2003年3，4）设1111(),[,1).sin(1)2fxxxx试补充定义f(1)使得f(x)在[1/2，1]上连续。解：令y=1-x，有111(1)sinlim()lim(1)sinxxxxfxxx信息学院罗捍东2801sinlimsinyyyyy2201sinlimyyyy2分201coslim2yyy4分2201sin1lim2yy6分由于f(x)在[1/2，1]上连续。因此定义f(1)=1就可使f(x)在[1/2，1]上连续。8分信息学院罗捍东29小结洛必达法则型00,1,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111取对数令gfy