(完整版)浅析洛必达法则求函数极限

本科学年论文论文题目：用洛必达法则求极限的方法学生姓名：卫瑞娟学号：1004970232专业：数学与应用数学班级：数学1002班指导教师：严惠云完成日期：2013年3月8日1用洛必达法则求未定式极限的方法内容摘要极限运算是微积分学的基础，在众多求极限方法中，洛必达法则是一种简单而又方便的求极限方法。但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就很可能出错。本文就针对利用此法则求极限的过程及解题过程中常见问题，对洛必达法则求函数极限的条件及范围、应用、何时失效做了整体分析与探讨，并举例说明。除此之外，还介绍了除洛必达法则之外其他求函数极限的方法以及同洛必达法则的比较，最后对洛必达法则进行小结。关键词：洛必达法则函数极限无穷小量目录一、洛必达法则求极限的条件及适用范围…………………………（1）（一）洛必达法则定理…………………………………………………………（1）（二）洛必达法则使用条件…………………………………………………（2）二、洛必达法则的应用…………………………………………………………（2）（一）洛必达法则应用于基本不定型………………………………………（2）（二）洛必达法则应用于其他不定型………………………………………（3）三、洛必达法则对于实值函数失效问题…………………………………（5）（一）使用洛必达法则后极限不存在………………………………（5）（二）使用洛必达法则后函数出现循环……………………………（6）（三）使用洛必达法则后函数越来越复杂…………………………（6）（四）使用洛必达法则中求导出现零点……………………………（6）四、洛必达法则与其他求极限方法比较…………………………………（6）（一）洛必达法则与无穷小量替换求极限法……………………………（7）（二）洛必达法则与利用极限运算和已知极限求极限…………………（8）（三）洛必达法则与夹逼定理求极限………………………………………（9）五、洛必达法则求极限小结………………………………………………（10）（一）洛必达法则条件不可逆………………………………………………（10）（二）使用洛必达法则时及时化简………………………………………（11）（三）使用洛必达法则前不定型转化……………………………………（11）参考文献………………………………………………………………………（13）1序言数学分析中几乎所有的概念都离不开极限。因此，极限概念是数学分析的重要概念，极限理论是数学分析的基础理论。极限法的引入与完善是出于社会实践的需要，是许多人奋斗的结果，不是哪一个数学家苦思冥想出来的。极限的求法很多，主要包括有：①利用极限的定义；②利用极限的运算法则求极限；③利用极限存在的条件和准则求极限；④利用两个重要极限求极限；⑤利用等价无穷小量和泰勒展开求极限；⑥利用函数的连续性求极限；⑦利用洛必达法则求极限；⑧利用中值定理求极限；⑨利用导数或定积分的定义求极限；⑩利用级数收敛的必要条件求极限。在此我只对利用“洛必达法则”求极限的这一方法进行了分析与概括。一、洛必达法则求函数极限的条件及适用范围（一）洛必达法则定理定理1[1]若函数)(xf与函数)(xg满足下列条件：（1）在a的某去心邻域)(xv内可导，且0)('xg（2）0)(lim0xfax0)(lim0xgax（3）Axgxfax)(')('lim0则Axgxfxgxfaxax)(')('lim)()(lim00（包括A为无穷大的情形）定理2若函数)(xf和)(xg满足下列条件（1）在a的某去心邻域)(xv内可导，且0)('xg（2）)(lim0xfax)(lim0xgax（3）Axgxfax)(')('lim0则Axgxfxgxfaxax)(')('lim)()(lim00（包括A为无穷大的情形）此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：xxxxxxxxx,,,,,000。定理证明：作辅助函数2axaaxxfxF当当,0),,(),()(axaaxxgxG当当,0),,(),()(于是函数F(x)及G(x)在[aa,）连续，在aa,可导，并且.0)('xG今对aa,内任意一点x，利用柯西中值定理得).,(,)(')(')()()()()()(000xaxxGxFaGxGaFxFxGxF由)()(xGxF及的定义，上式即)(')(')()(00xgxfxgxf所以当0ax时（这时显然有00ax），对上式两端取极限，即Axgxfxgxfaxax)(')('lim)()(lim0000证毕。关于定理二的证明方法也同定理1类似，这里就不点出。当然，还有其他不同的证明方法。（二）洛必达法则使用条件只有在分子、分母同时趋于零或者同时趋于无穷大时，才能使用洛必达法则。连续多次使用法则时，每次都要检查是否满足定理条件，只有未定式方可使用，若是检查结果满足法则使用条件，才可连续使用洛必达法则，直到求出函数极限或者为无穷大，否则就会得出错误的结果，下面举个例子来说明。例1：求xxxxxsinsinlim分析：根据洛必达法则使用条件，此式为型，所以可以使用洛必达法则，但是xxxxxxxxcos1cos1limsinsinlim，结果所得非不定式，所以只能使用一次洛必达法则，而不能再进行第二次。解：1)sinsin(limcos1cos1limsinsinlimxxxxxxxxxxx3事实上，1sin1sin1limsinsinlimxxxxxxxxxx，这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。二、洛必达法则的应用（一）基本类型：不定式直接应用法则求极限例2：求.cos1lim20xxx解：这是00待定型。运用洛必达法则，我们有xxxxxxxxx2sinlim)'()'cos1(limcos1lim02020因为1sinlim0xxx从而.21sinlim21cos1lim020xxxxxx例4：求).0(lnlimxxx解：上述极限是待定型，于是01lim1limlnlim1xxxxxxx（二）未定式的其它类型：0、、00、0、1型极限的求解此外，除了型型或00这两种待定型外，还可以通过转化，来解其他待定型。譬如.10000，，，，等待定型，由于他们都可以转化为型型或00，因此，也可以用洛必达法则来求出他们的值[2]。关于如何转换，例如,)(lim,0)(limxgxf则)()(limxgxf是0形式，这时，可以写为)(1)()(1)()()(xfxgxgxfxgxf或，这就转化为型型或00了。此外对于0001，，等4不定式，可以取对数化为0的形式，再运用如上方法便可转化为型型或00了，下面对这些待定型一一举例解答以作说明[3]。例5：).tan1(lim220xcxx解：这是型，设法化为00形式：xxxxxxcxxx222220220sincossinlim)tan1(lim=xxxxxxxxxxsincossinsincossinlim20=xxxxxxsincossinlim)11(2=xxxxxxxcossin2sinlim220=.32cossin21lim20xxxx例6：求.)2(lim2tan1xxx解：这是型1)2ln(2tanlimexp)2(lim12tan1xxxxxx=expxxx2cot)2ln(lim1=exp)2csc(212lim21xx=2e例7：求xxxxln12)1(lim解:这是0待定型，经变形得xxxxxxexxln1lnln122lim)1(lim，5而11lim111limln)1ln(lim222xxxxxxxxxx故exxxxln12)1(lim例8：求xxxlnlim0解：这是0待定型，可变形为xxxx1lnln，成了待定型，于是0)(lim11lim1lnlimlnlim02000xxxxxxxxxxx例9：求xxx0lim解：这是00待定型，由对数恒等式知，xxxexln，运用例8可得1limlim0lnlimln000eeexxxxxxxxx三、洛必达法则对于实值函数的失效问题洛必达法则可谓是在求不定式极限中作用最为显赫的一种方法，当然，它也有失效的时候。“失效”的原因则是因为题目本身不满足可以使用洛必达法则的几个条件。所以，在要使用洛必达法则时，则要检验该题目是否符合洛必达法则条件，洛必达法则失效的基本原因有以下几种。（一）使用洛必达法则后，极限不存在（非），也就是不符合以上定理1、2的条件（3）[4]例10：计算xxxxxsinsinlim解：原式=1sin1sin1limxxxxx（二）使用洛必达法则后，函数出现循环，而无法求出极限，也就是不符合定理1、定理2的条件（3）例11：计算)(lim型xxxxxeeee6解：原式=xxxee2211lim=1（三）使用洛必达法则后，函数越来越复杂，无法简单判断出函数是否存在极限，也就是不符合定理1、定理2的条件（3）例12：计算)00(lim10型xexx解：令xt1，则原式=1lim1lim00txtxette（四）求导后有零点，也就是不满足条件例如xexexxexxxxsinsin)sin2(coslim222，的极限是不存在的，事实上，取)(4-nnxππ，此时分母的导数是有零点的。四、洛必达法则与其它求极限方法比较使用洛必达法则时不要忽视别的求极限方法，并不是所有不定型用洛必达法则最为方便，在关注使用洛必达法则的同时，我们还要注意到其他求极限的方法，依题目而选定最合适的方法。对于解函数极限的题，若是不定式符合洛必达法则条件，确实可使用洛必达法则，但也不是说单一只能使用洛必达法则，也可以试着洛必达法则同其他方法一起，可能可以使解题更为简便。（一）洛必达法则与无穷小代替法应用等价无穷小量代替法化简，牢记下列等价无穷小量：当0x时，,~)1ln(,~1~arcsin,~tan~sinxxxxexxxxxx，xxxxx~112~cos12，用此方法应要注意，加减的无穷小量不能用等价无穷小量代替，需是无穷小量比的形式，或是极限中的乘积因子为无穷小量，且替换后极限存在，才能用等价无穷小量替换[5]，下面举个例子作为比较。例13求2220sincos1limxxxx7解1：（运用无穷小量代替法）2121limsincos1lim4402220xxxxxxx解2：（利用洛必达法则）2220sincos1limxxxx=22320sincos2sin2limxxxxxx=22220sincossinlimxxxxx=223220cos2sin2cos2cos2limxxxxxxxxx=22220sincos2coslimxxxxx=21分析：此题若直接用洛必达法则，则会较麻烦，相反，若之前先用无穷小量替代，就可简化解题过程。解：)1(sinlim20xxexxx=.61321lim3cos1limsinlim2202030xxxxxxxxxx（二）洛必达法则与运用极限的运算和已知的极限求极限比较[6]利用极限的定义和适当放大法也是可以求出一些较