大学生数学建模论文---两辆铁路平板车的装货问题

1两辆铁路平板车的装货问题摘要本文针对包装箱的运输问题，建立了关于使得平板车空间浪费最小的一般数学模型与方法。即使得空间浪费最小的最优解，属于优化类模型。利用线性规划原理对问题进行分析求解，建立数学模型。首先，将7种包装箱的厚度和重量分别设成相应的未知数，方便在题中的代入求解。由此再进一步的研究。对于问题，假设出各辆铁路平板车所载的7种包装箱的数目。并考虑到铁路平板车，对所载包装箱的高度、重量等要求，利用所设未知数和已知的条件限制建立约束条件。再对铁路平板车得空间浪费最少建立目标函数。由此，可建立线性规划数学模型，对本文问题进行求解。利用LINGO编程进行求得最优解,即得到最优设计方案：第一辆平板车载C1种类型的包装箱0件，C2种类型的包装箱5件，C3类型的包装箱2件，C4种类型的包装箱5件，C5种类型的包装箱2件，C6种类型的包装箱1件，C7种类型的包装箱2件；另一辆平板车载C1种类型的包装箱6件，C2种类型的包装箱2件，C3种类型的包装箱6件，C4种类型的包装箱0件，C5种类型的包装箱0件，C6种类型的包装箱0件，C7种类型的包装箱4件；这样的装载能使得两辆平板车的使用高度达到20.4米，空间利用率达到100%。关键词：最小浪费空间、长度、重量、数量。一、问题重述有7种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（ω，以kg计）是不同的。下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每辆平板车有10.2m长的地方可用来装包装箱（象面包片那样），载重为40t。C1C2C3C4C5C6C7件数8796648t(cm)48.752.061.372.048.752.064.0W(kg)200030001000500400020001000货运管理制度规定：每辆平板车上C5,C6,C7三类包装箱所占空间不能超过302.7cm问:应该如何把这些包装箱装到平板车上，才能使得浪费的空间最小？试建立此问题的数学模型。2二、模型假设1、包装箱的底面积恰好与平面车的平面积恰好相等。2、包装箱之间不存在间隙，即包装箱所铺成的总高度没有影响。3、将每个包装箱装入平板车都具有可行性。4、各个货物装在车上的概率相同，相互之间的排放不存在关联性；5、在该平板车装载的过程中不考虑各个货物的厚度及重量的误差性，均为题中所给的准确数值；6、装载的过程中不考虑货物在车上的排列次序及各个货物的重量密度，排除因局部过重而造成的平板车不能行驶的情况；三、符号定义说明ia:表示第i类包装箱的厚度ib：表示第i类包装箱的重量ic：表示第i类包装箱ix：表示在其中一辆车上装第i类包装箱x件iy：表示在另一辆车上装第i类包装箱y件（i=1,2,3,4,5,6,7）四、问题分析七种包装箱的重量和W==89t，而两辆平板车只能载240=80t，因此不能全部装下，究竟在两辆车上装哪些种类的箱子各多少才合适，必须有评价的标准，这标准是遵守题中说明的重量,厚度方面的约束条件，并且体现出尽可能多装。由题意，只考虑面包重叠那样的装法，把问题简化为：两辆车上装箱总厚度之和尽可能大，可以确定建立线性规划求整数解模型（每个箱子属于0-1规划模型）来解决这一问题，以寻找最合适的方案：所浪费的空间最小，也就是说，是要让使用的空间最大化。五、模型的建立与求解在符号假设中，设Ci型箱的厚度为ia米，重ib公斤，在其一辆车上装ix件，另一车上装iy件，设Ci型箱的总数为id则iiidyx，1、因为题中要求计算如何把这些包装箱装到平板车上，才能使得浪费的空间最小。可将其作为目标函数。根据题意得出目标函数为：37711max()iiiiiiaxay2、根据已知条件：每辆平板车有10.2m长的地方可用来装包装箱（象面包片那样），载重为40t，即两辆车所载的高度均超过10.2m，所载的包装箱的重量都不过40t。由此可建立约束条件(一)：7171717110.24010.240iiiiiiiiiiiiaxbxayby3、本文中特别规定：每辆平板车上C5,C6,C7三类包装箱所占空间不能超过302.7cm，由此可建立约束条件（二）75753.0273.027iiiiiiaxay因为所装载的包装箱个数必定为整数且两辆平板车所载包装箱的个数应小于总个数id，即,iixy为整数，且iiixyd。4、建立约束条件（三）。,iixy为整数，且iiixyd。将以上求解思路分析总结，建立模型如下：47711717175717175 max()10.2403.02710.2.?403.0271,2,7,0,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiaxayaxbxaxaystbyayxydixyxy目标函数：且为整数由题中所给数据：1C2C3C4C5C6C7Ct(厘米)48.752.061.372.048.752.064.0W(公斤)200030001000500400020001000件数8796648代入上式进行求解：在问题的求解利用LINGO进行求解得：123456712345670;5;2;5;2;1;2;6;2;6;0;0;0;4;xxxxxxxyyyyyyymax20.4即当第一辆平板车载C1种类型的包装箱0件，C2种类型的包装箱5件，C3类型的包装箱2件，C4种类型的包装箱5件，C5种类型的包装箱2件，C6种类型的包装箱1件，C7种类型的包装箱2件；另一辆平板车载C1种类型的包装箱6件，C2种类型的包装箱2件，C3种类型的包装箱6件，C4种类型的包装箱0件，C5种类型的包装箱0件，C6种类型的包装箱0件，C7种类型的包装箱4件；这样的装载能使得两辆平板车的使用高度达到20.4米，空间利用率达到5100%。六、模型改进本题若运用Matlab求解，所得结果误差较大。因为决策变量只能取整数，线性规划就变成了整数线性规划。而无论是在理论上还是实践中，它都比普通线性规划难得多。因此，在实践中，不必把整数规划与普通规划分得太清。许多实际问题中，建模本身就包含了一些不确定因素，同时常常也允许近似的或粗略的结果。但在本题中，若将决策变量的值用舍入凑整法进行取整，本身决策变量的取值就小，再进行舍入凑整法，值的变化就非常明显，从而导致决策变量取值的误差变大。为了减小实验误差，我们对模型进行型改进，运用LINGO软件进行求解。结果证明，在决策变量取值较小时，运用LINGO软件进行求解的误差几乎可以忽略不计。七、模型评价与推本文所建模型有如下特点:1)基于基于对问题的分解与基本理解，建立了整数线型规划模型，并对模型进行求解，思路完整严密。2)由于lingo软件功能强大，计算机运行的时间也大大缩小，而且使理论分析和运行结果相互得到证明，采用LINGO语言，在变量更多的情况下，理论分析的作用就更显得重要，不能盲目的运用计算机求解，本文运用了分支界限法从中得到一组优解。3）此解能基本反映实际情况，解决实际问题。充分利用题中的数据特点，对模型进行简化，从而对计算简化。4）在模型的推广上，本文结合实际的运输过程，将平板车的装载重量这一因素引进来，从而由单目标规划推广到多目标规划上，使我们的模型更符合实际需求，更具有经济效益。当然，本文的模型还只是针对一种确知的目标函数而定的。当目标函数变为运输成本最小化而需要进行复杂的不确定的多因素动态规划时，模型则需要更进一步的深化与改进。七、参考文献[1]严喜祖，宋中民，毕春加．数学建模及其实验．北京：高等教育出版社，2009年8月，24-34页，43-47页，99-112页；[2]宋来中，王志明．数学建模与实验．北京：科学出版社,2005年8月,155-159页；[3]陈理荣．数学建模导论．北京：邮电大学出版社,2002年8月第3次印刷,25-41页[4]《数学模型》编写组．数学模型,广州：华南理工大学出版社,2003年5月6第1版第2次印刷154-156页[5]谢金星，薛毅．优化建模LINGO软件．北京：清华大学出版社，2005-07出版2005-07-01印刷八、附件Matlab程序：c=[-0.487;-0.52;-0.613;-0.72;-0.487;-0.52;-0.64;-0.487;-0.52;-0.613;-0.72;-0.487;-0.52;-0.64];A=[0.4870.520.6130.720.4870.520.640000000;2310.54210000000;00000.4870.520.640000000;00000000.4870.520.6130.720.4870.520.64;00000002310.5421;000000000000.4870.520.64;10000001000000;01000000100000;00100000010000;00010000001000;00001000000100;00000100000010;00000010000001];B=[10.2403.02710.2403.0278888888];Aeq=[00000000000000];beq=[0];xL=zeros(14,1);xU=8*ones(14,1);[x,fmin]=LINPROG(c,A,B,Aeq,beq,xL,xU)Bond1=x(1)Bond2=x(2)Bond3=x(3)Bond4=x(4)Bond5=x(5)Bond6=x(6)Bond7=x(7)Bond8=y(1)Bond9=y(2)Bond10=y(3)Bond11=y(4)Bond12=y(5)Bond13=y(6)Bond14=y(7)ReturnExpectation=-fminMatlab计算结果Warning:Couldnotfindanexact(case-sensitive)matchfor'LINPROG'.C:\ProgramFiles\MATLAB\R2009a\toolbox\optim\optim\linprog.misa7case-insensitivematchandwillbeusedinstead.Youcanimprovetheperformanceofyourcodebyusingexactnamematchesandwethereforerecommendthatyouupdateyourusageaccordingly.Alternatively,youcandisablethiswarningusingwarning('off','MATLAB:dispatcher:InexactCaseMatch').Thiswarningwillbecomeanerrorinfuturereleases.Optimizationterminated.Bond1=3.2235Bond2=3.1695Bond3=3.3291Bond4=3.1068Bond5=1.6416Bond6=1.6627Bond7=1.6255Bond8=3.2235Bond9=3.1695Bond10=3.3291Bond11=3.1068Bond12=1.6416Bond13=1.6627Bond14=1.6255ReturnExpectation=-20.4000因为决策变量只能取整数，线性规划就变成了整数线性规划。因此，在本题中，将决策变量的值用舍入凑整法进行取整。所以最终求解为：Bond1=3Bond2=3Bond3=3Bond4=3Bond5=2Bond6=2Bond7=2Bond8=3Bond9=3Bond10=3Bond11=3Bond12=2Bond13=2Bond14=28由于lingo软件功能强大，计算机运行的时间也大大缩小，而且使理论分析和运行结果相互得到证明，采用LINGO语言，