指数运算中常用的方法与技巧

指数运算中常用的方法与技巧在进行指数运算时，注意变式、变形，以及平方差、立方和、立方差公式的运用，适当地进行整体代换，则可化繁为简、化难为易．下面举例说明：一、活用乘法公式例１化简：132111333311111xxxxxxxx解：原式＝12112111133333333321113333(1)(1)(1)(1)(1)(1)111xxxxxxxxxxxxx＝121211333333311xxxxxxx评注：要观察式中各项的结构，发现1,1xx分别是“立方差”和“立方和”，于是各个击破，达到化简之目的．计算过程中利用乘法公式进行因式分解，往往是计算简便．二、化根式为分数指数幂例２化简下列各式（１）3333abbaab；（２）2113()xyxyxyxy分析：将根式化为指数幂的形式，再利用有利数指数幂的运算性质进行化简．解：（１）原式＝1111111032236363ababa（２）原式＝111113312133222222()()()()()xyxyxyxyxyxy＝11022()()()1xyxyxy评注：化简根式，尤其是根式中又有分数指数幂的代数式，通常化根式为分数指数幂，然后根据运算法则运算，同时要注意结果形式的统一．三、整体代入例１若2121xx＝３．求23222323xxxx的值．分析：从已知条件中解出a的值，然后再代入求值，这种方法不可取，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入．解：∵2121xx＝３，两边平方得11222()9xx，∴1xx＝７∴2212()249247xxxx将2121xx＝３两边立方得2323xx＝18∴23222323xxxx＝31247318．评注：本题解法是求3322xx，22xx的值后，整体代入，这是数学中的整体代换的思想方法，在指数的有关运算中，若把已知的代数式视为一个整体，直接代入，常可避免局部运算的烦琐和困难．四、巧妙换元例４化简3221311)1111()1(222222xxxxxxxxxxxxxx．分析：观察全式便能发现在此式中，形式上出现最多的是xx1,而由乘法公式可知：2)1(1222xxxx．若令1xax，原式的形式会变得相当简单．这种局部换元的方法在代数变形中是十分有效的．解：设xx1＝a，则原式＝1)1()11(121)11(22222222aaaaaaaaaaaaaa＝)1(22aaa＝a－１＝xx1－１评注：通过换元，可把分数指数幂转化为整数指数幂，把复杂运算转化为简单熟悉的运算，快速解决问题．五、利用性质例５计算：（１）211322110()(2)(2)3427；（２）112111222111aaaaa解：（１）原式＝2211332239643427()()()()24272964＝213234273297()()2964231616（２）原式＝11111111222221111122222(1)(1)1(1)1aaaaaaaaaaaaaaaa＝11220aa评注：在指数运算中，利用()()nnabba这个性质，颠倒底数的分子分母的位置，直接把负指数幂化为整指数幂，反之亦然．若能巧妙利用1ppaa这个性质进行代换，则可化难为简．简化运算过程．