计算电磁学

第38卷第5期电子科技大学学报Vol.38No.52013年4月JournalofUniversityofElectronicScienceandTechnologyofChinaapril.2013双脊金属加载矩形波导的基模及第一个高阶模的色散特性分析XXX电子科技大学物理电子学院,成都,610054【摘要】利用有限差分法，对双脊金属加载矩形波导的基模及第一个高阶模的色散特性进行了分析研究，得出了模式的横截面电磁场分布图，并研究了网格粗细对计算结果的影响。最后通过与CST、HFSS软件仿真的仿真的结果对比，验证了结果的正确性。关键词:双脊；矩形波导；有限差分；模式；色散曲线；场分布中图分类号TN252文献标识码AResearchonTheFundamentalModeandThefirsthigh-ordermodeofDouble-ridgedMetalLoadedRectangularWaveguideLIjiangjiangSchoolofPhysicalElectronics,UniversityofScienceandTechnologyofChina,Chengdu,610054Abstract:Inthispaper,thefundamentalmodeandahigherordermodeofdouble-ridgedmetalloadedrectangularwaveguidewascalculatedbyusingthefinitedifferencemethod.Thecross-sectiondistributionoftheelectromagneticfieldwasstudiedaswell.Atlast,toprovethecorrectnessoftheresults,wecomparedtheresultobtainedinmatlabwithitobtainedinCSTandHFSS,andtheymatchedwell.Keywords:doubleridges;rectangularwaveguide;finitedifferential;mode;dispersioncurve;fielddistribution引言有限差分法是一种求微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。本文重点讨论用有限差分法求解双脊金属加载矩形波导的电磁场问题，通过matlab编程得到了基模和第一高次模的色散特性曲线，并画出了基模和第一高次模的电场磁场图，分析了网格疏密对结果的影响，最后通过CST仿真软件，验证了结果的正确性。1.有限差分法有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算法。它用离散的函数值构成的差商来近似逼近相应的偏导数,而所谓差商则是基于差分应用的数值微分表达式。1.1差分运算基本概念下函数f(x)，变量x有增量x=h，则有：)()(xfhxff(1)所以，f称为f(x)的一阶差分，则一阶差商为：hxfhxfhf)()((2)若x→0，即h→0，则有一阶倒数：)(lim0xfdxdfhfx(3)同理二阶导数：222)()(hxfhxfxdfd(4)1.2差分格式的建立如图1所示，设变量在边界c构成的场域D中。电子科技大学学报第38卷2图1等步长区域的网格划分图首先将场域D离散化，此处采用有规律的划分方式，使每个离散节点均可得出相同形式的差分方程,从而提高求解速度。1.2.1一阶差分偏导数的中心差分格式设42210、、、、分别表示0、1、2、3、4处的函数值,则点0处x轴方向的前向差分为：101][hx（5）后向差分为：3300hx（6）事实证明无论是前向差分还是后向差分都存在很大的误差，现在要寻求一种较精确的差分格式，引入常数α、β对21、和进行泰勒展开:.....21--23212231030100301hhxhhxhxhx（7）令二次项项系数为，得：2123-hh（8）将式(7)代入到式(6)中，并舍去高阶项，得：)()()(3131032101230hhhhhhx（9）等步长下，321hhh，有：hx231（10）这就是所需要的x轴中心差分表达式。同理对于y轴方向，它的中心差分表达式应由42、决定,即hx2)(420（11）1.2.2二阶差分偏导数的中心差分格式在式(6)中,令0)(x项系数为0，则有：13hh（12）将式（11）代入式（6）中，舍去高阶项，得：3111031010222)(hhhhhhx（13）在等步长时，hhh31有：23010222hx（14）同理对于y轴方向，它的中心差分应由42、决定，即：24020222hy（15）1.2亥姆霍兹方程的有限差分形式亥姆霍兹方程：02222xkyx将式（14）和式（15）代入上式，得：0432104hkc（16）那么任意节点(i,j)的亥姆霍兹方程的差分格式为：jicjijijijijihk,22,1,,11,,14（17）1.3有限差分法在矩形波导中的运用矩形波导中可以传输TE波和TM波,但这两类波所适用的边界条件不一样,所以首先讨论边值问题。这里先给出用场的纵向分量表示的横向分量公式，如式（18）所示。1.3.1第一类边界条件0c第一类边界条件是指在矩形金属波导内传输TM波,以记场域内各节点的函数值（电场纵向分量）。由于金属边上电场只有法向分量，切向分量为零，第1期李江江：金属加载矩形波导基模及第一高次模色散特性分析3可推出在边界上0c。xHjyEjkEyHjxEjkEyHjxEjkHxHjyEjkHzzcyzzcxzzcyzzcx22221111（18）如图2所示,若场域中的网格节点落在边界C上,则该节点的3值为0，此时节点0的亥姆霍兹方程为：020421-4hkhc（19）图2第一类边值问题图1.3.2第二类边界条件0cn第二类边界条件是指在波导内传输TE波，以记场域内各节点的函数值。若场域中的网格节点有落在边界c上,这时可在边界线外增加一排网格，这排网格节点的值，要始终令其等于边界内与它们对称的网络节点的们值，如图3所示，即31，此时节点0的亥姆霍兹方程为：22042142hkc（20）图3第二类边值问题图1.4有限差分法求解双脊金属加载矩形波导特性在讨论完边值问题后,就可以用有限差分法求解矩形波导中的截止波长问题。矩形波导图如图4所示。图4双脊金属加载矩形波导先将该场域均匀离散，再利用有限差分法列出该场域中各离散点的差分方程，并使每个离散节点方程构成矩阵：2hkkc（21）其中k为每一节点所构成的系数矩阵，为每一节点处函数值的矩阵。求出矩阵k的特征值。这样就把问题归结为一矩阵的本征值问题。求矩阵k的特征值并取其最小非负特征值minck，利用这一最小特征值求得矩形波导的截止波长c。文中在求解截止波长c时，应用了MATLAB编程来实现计算机求解。1.4.1离散化场域在等间距网格下离散化模型，如图所示，此时4321hhhh=h，依次,取h=0.127，h=0.254，h=508，这是因为矩形波导的尺寸决定的。这样取可以使矩形波导的边以及金属脊都刚好位于网格边界上，可以简化有限差分法所得的系数矩阵。对于TE模，由于其纵向场分量Hz在金属边界值为0，所以边界处值不计入系数矩阵。对于TM模，由于只知道边界处法向分量的法向偏导数为0，所以编号须从边界处开始，如下图所示。在处理金属脊的加入对矩形波导传输特性影响时，对于金属脊内部，令金属脊所在网格点出的场处处为0，在金属脊边界时，采用与波导边界相同的处理方法，对于TM模，直接命0，对于TE模，边界附近的点的系数命2，即公式（20）所示。cadb电子科技大学学报第38卷4图5矩形波导及金属脊离散化示意图图6TM模边界处理及编号处理图7TE模边界处理及编号处理1.4.2双脊加载金属波导的差分格式：由以上分析可知，对于TM模，有如下差分格式：00)(4,,2,1,1.,1,1jijicjijijijijihk（22）对于TE模有：)(0042)(042)(042)(042)()(04)(,,1,,1,1,2,,11,,1,2,1,1,,1,2,1,1,,1,2,1,,11,,1,2金属脊内（下边界）（上边界）（右边界）（左边界）在波导内jijijijijijicjijijijijicjijijijijicjijijijijicjijijijijijichkhkhkhkhk（23）差分方程组可用矩阵形式表示为：][]][[k（24）这就把场的求解问题转化为求五点差分格式所得系数矩阵[K]的特征值问题，对应的求出特征向量][即为网格结点上场的纵向分量，再由纵向分量与横向分量的关系（式（18））可求出整个场。1.4.3程序流程图开始初始化矩形波导建模及网格画分由边界条件及金属脊性质，写出TM模、TE模对应的系数矩阵求系数对应的矩阵特征值和特征向量由特征值求截止波数，并将截止波数进行排列，输出最小的2个截止波数计算基模和第一高阶模的色散曲线，画出横向场分布图结束2仿真结果及分析2.1截止频率的计算根据模型参数在CST软件中建模并仿真，可以得到基模和第一高次模的截止频率。同MATLAB编程计算所得最低的两个TM模的截止频率如下表所示（网格数为41*23,h=0.254）：第1期李江江：金属加载矩形波导基模及第一高次模色散特性分析5表1不同计算工具所得截止频率比较由以上对比可见Matlab的计算结果与仿真结果误差在5%以内，两个结果吻合很好。2.2网格数对计算效果的影响表2不同网格所得截止频率比较模式网格20*1141*2380*44基模截止频率12.6GHz12.6GHz12.4GHz第一高次模截止频率28GHz27.8GHz27.8GHz由以上结果对比可以发现，对于同一个模式而言，随着网格的加密，截止频率逐渐趋于稳定，得出的数据越接近ＣＳＴ软件所仿真出的结果，即也与理论分析相吻合。但随着网格的加密计算所消耗的内存和时间也呈指数增加，同时对计算机性能要求也比较高，因此需要合理选择网格大小以便得到理想的效果。2.3色散曲线的绘制通过对特征值矩阵的分析，并通过排序找到两个最低模式对应的特征值，为绘制两个模式的色散曲线做准备。利用公式22(2/)cfck可画出色散特性曲线，如下图所示。图8.4为HFSS仿真的基模与第一高次模色散曲线图，由图可见其截止频率及曲线均与matlab计算结果很好的吻合0204060050010001500f(GHz)beta(rad/m)基模第一高次模基模和第一高次模色散特性曲线图8(a)