第四章间接平差电子教案

1444间间间接接接平平平差差差4.1间接平差原理1）间接平差的定义在一个平差问题中，当所选的独立参数Xˆ的个数等于必要观测数t时，可将每个观测值表达成这t个参数的函数，组成观测方程，这种以观测方程为函数模型的平差方法，就是间接平差。2）间接平差的函数模型)ˆ(ˆ1XFLn或111ˆˆnttnndXBL或111~nttnnlxBV23）间接平差的随机模型nnnnnnPQD120204）间接平差的平差准则VTPV=min4.1.1间接平差原理设平差问题中有n个观测值L，已知其协因数阵1PQ，必要观测数为t，选定t个独立参数Xˆ，其近似值为0X，有xXXˆˆ0，观测值L与改正数V之和VLL，称为观测量的平差值。可列出n个平差值方程为dXBLˆˆ其纯量形式可表示为3itiiiiidXtXbXaVL21（i=1，2，3，…，n）令TnnTttTnnTnnddddXXXXVVVVLLLL211211211211ˆˆˆˆ，，nnntntbatbatbaB222111则平差值方程的矩阵形式为dXBVLˆ4顾及xXXˆˆ0，并令)(0dBXLl式中0X为参数Xˆ的充分近似值，可得误差方程式为lxBVˆ按最小二乘原理，根据数学上求函数自由极值的方法，得0ˆ2ˆPBVxVPVxPVVTTT转置后得0PVBT有唯一解，此两式联合称为间接平差的基础方程。解此基础方程，代入得50ˆPlBxPBBTT令PlBWPBBNTtTttbb1,上式可简写成0ˆWxNbb式中系数阵bbN为满秩矩阵，即tNRbb)(，xˆ有唯一解，上式称为间接平差的法方程。解得WNxbb1ˆ或PlBPBBxTT1)(ˆ将求出的xˆ代入误差方程求得改正数V，从而平差结果为6xXXVLLˆˆ,ˆ0特别地，当P为对角阵时，即观测值之间相互独立，则法方程的纯量形式为][ˆ][ˆ][ˆ][][ˆ][ˆ][ˆ][][ˆ][ˆ][ˆ][212121ptlxpttxpbtxpatpblxpbtxpbbxpabpalxpatxpabxpaattt4.1.2计算步骤1．根据平差问题的性质，选择t个独立量作为参数；2.将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，若函数非线性要将其线性化，列出误差方程；3．由误差方程系数B和自由项l组成法方程，法方程个数等7于参数的个数t；4.解算法方程，求出参数xˆ，计算参数的平差值xXXˆˆ0；5．由误差方程计算V，求出观测量平差值VLLˆ；6.评定精度。例[4-1]在图4-1所示的水准网中，A、B、C为已知水准点，高差观测值及路线长度如下：1h=+1.003m，2h=+0.501m，3h=+0.503m，4h=+0.505m；1S=1km，2S=2km，3S=2km，4S=1km。已知AH=11.000m，BH=11.500m，CH=12.008m，试用间接平差法求1P及2P点的高程平差值。1hABC1P2P2h3h4h图4-18解：1.t=2，选取1P、2P两点高程平差值为参数1ˆX、2ˆX，取未知参数的近似值为003.12101hHXA(m)、511.12302hHXC(m)，令2km观测高差为单位权观测值，依据定权公式有：2,1,1,24321PPPP。2.根据图形列平差值方程式，得到误差方程式高差误差方程：oijijoiojijijijijijoiojijijijijijLLXXLllxxVXXxxXXVLL)(ˆˆˆˆˆˆˆ9)(ˆ)(ˆ)(ˆˆ)(ˆ01414023230102221201111BCAHXhxvHXhxvXXhxxvHXhxv代入具体数值，并将改正数以毫米为单位，则有2ˆ0ˆ)7(ˆˆ0ˆ142321211xvxvxxvxv可得矩阵如下1001101101B，2000010000100002P，2070l3.组成法方程0ˆPlBxPBBTT得0711ˆˆ211521xx解得7.27.1ˆˆ21xx(mm)4.计算参数的平差值xXXˆˆ05083.120047.12ˆˆˆˆ21020121xxXXXX(m)115.由误差方程计算V，求出观测量平差值Vhhˆ；5047.05003.05037.00047.1ˆˆˆˆ432143214321vvvvhhhhhhhh(m)12图4-2jk0jk0jkS4.2误差方程在间接平差中，待定参数的个数必须等于必要观测的个数t，而且要求这t个参数必须是独立的。参数的选取：在水准网中，常选取待定点高程作为参数；在平面控制网、GPS网中一般选取未知点的二维坐标或三维坐标作为未知参数。4.2.1测角网函数模型1）坐标方位角（计算）误差方程在图4-2中，j、k是两个待定点，它们的近似坐标为0000,,,jjkkXYXY。根据这些近似坐标13可以计算j、k两点间的近似坐标方位角0jka和近似边长0jkS。设这两点的近似坐标改正数为ˆˆˆˆ,,,jjkkxyxy，则有kkkkkkjjjjjjyYYxXXyYYxXXˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆ0000坐标方位角的改正数为0ˆjkjkjk根据图4-2可以写出0000ˆˆˆarctanˆˆkkjjjkkkjjYyYyXxXx14将上式右端按泰勒公式展开，得00000000ˆˆˆˆˆˆˆˆˆarctanˆˆˆˆkjjkjkjkjkjkjjkkkjjjkkYYxyxyXXXYXY等式中右边第一项就是近似坐标方位角0jk，故kkjkkkjkjjjkjjjkjkyYxXyYxXˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ0000式中2002002000020000200000)()()()(1)(ˆˆjkjkjkjkjkjkjkjkjkjjkSYYYXXYYXXYYXXYYX同理可得15200020002000ˆˆˆˆˆˆjkjkkjkjkjkkjkjkjkjjkSXYSYXSXY将上列结果代入，并顾及全式的单位得kjkjkkjkjkjjkjkjjkjkjkySXxSYySXxSYˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(20020020020016或写成kjkjkkjkjkjjkjkjjkjkjkySxSySxSˆcosˆsinˆcosˆsin00000000以上两式就是坐标改正数与坐标方位角改正数间的一般关系式，称为坐标方位角改正数方程，它是解算测角网、测方向网的基础方程。讨论：1.若某边的两端均为待定点，ˆjx与ˆkx前的系数绝对值相等；ˆjy与ˆky前的系数绝对值也相等。2.若测站点j为已知点，则ˆˆ0jjxy，得kjkjkkjkjkjkySXxSYˆ)(ˆ)(20020017若照准点k为已知点，则0ˆˆkkyx，得jjkjkjjkjkjkySXxSYˆ)(ˆ)(2002003.若某边的两个端点均为已知点，则0ˆˆˆˆkkjjyxyx，得，0jk。4.同一边的正反坐标方位角的改正数相等，因为jjkkjjjkkjkjkkjkjkkjkjySXxSYySXxSYˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(200200200200顾及00kjjkYY，00kjjkXX，得kjjk182）角度误差方程对于角度观测值iL（图4-3）来说，其观测方程为：jhjkiivLˆˆ将0ˆ代入，并令000)(iijhjkiiLLLl可得ijhjkilv代入即得线性化后的误差方程。例如，j、h、k点都是未知点时19ihjhjhhjhjhjjhjhjjhjhkjkjkkjkjkjjkjkjjkjkilySXxSYySXxSYySXxSYySXxSYvˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(200200200200200200200200合并同类项最后可得ihjhjhhjhjhkjkjkkjkjkjjhjhjkjkjjhjhjkjkilySXxSYySXxSYySXSXxSYSYvˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(200200200200200200200200上式即为线性化后的观测角度的误差方程式。讨论：如果是测角网，角度权阵为单位阵，按照角度误差方程解算是严密平差；如果是测方向网，按照方向误差方程和方向权阵为单位阵解算是严密平差，同样按照角度误差方程和角度权阵为20非对角阵解算也是严密的，而按照角度误差方程和角度权阵为单位阵解算非严密的。综上所述，对于角度观测的三角网，采用间接平差，选择待定点的坐标为参数时，列误差方程的步骤为：1.计算各待定点的近似坐标；00,YX2.由待定点的近似坐标和已知点的坐标计算各待定边的近似坐标方位角0和近似边长0S；3.列出各待定边的坐标方位角改正数方程，并计算其系数；4.列出误差方程。21jk图4-4iL4.2.2测边网函数模型在图4-4中，测得待定点间的边长iL，设待定点的坐标平差值jXˆ、jYˆ、kXˆ和kYˆ为参数，令kkkkkkjjjjjjyYYxXXyYYxXXˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆ0000由图4-4可写出iLˆ的平差值方程为22)ˆˆ()ˆˆ(ˆjkjkiiiYYXXvLL按泰勒公式展开，得)ˆˆ()ˆˆ(00000jkjkjkjkjkjkjkiiyySYxxSXSvL22式中000000,jkjkjkjkYYYXXX，2002000)()(jkjkjkYYXXS再令0jkiiSLl则可得测边的误差方程为ikjkjkkjkjkjjkjkjjkjkilySYxSXySYxSXvˆˆˆˆ00000000讨论：1．边长误差方程中，jxˆ与kxˆ的系数的绝对值相等，jyˆ与kyˆ的系数的绝对值也相等。常数项等于该边的观测值减其近似值。232．若j为已知点，则0ˆˆjjyx，得ikjkjkkjkjkilySYxSXvˆˆ0000若k为已知点，则0ˆˆkkyx，得ijjkjkjjkjkilySYxSXvˆˆ0000若j、k均为已知点，则该边为固定边（不观测），故对该边不需要列误差方程。3．某边的误差方程，按j到k方向列立或按k到j方向列立的结果相同jiijvv。244.2.3数字高程模型、GPS水准的高程异常拟合模型常采用多项式拟合模型。已知m个点的数据为（Zi,xi,yi）(i=1,2,…,m)，其中Zi是点i的高程（数字高程模型）或高程异常（GPS水准拟合模型），（xi,yi）为点i的坐标，