第二十八章奥赛园地·数学人教版九下-特训班

　愿每次回忆,对生活都不感到负疚.———郭小川【例】　若α为锐角,且cosα＝０．６,则(　　)．A．０°＜α＜３０°B．３０°＜α＜４５°C．４５°＜α＜６０°D．６０°＜α＜９０°【分析】　因为０．５＜０．６＜１,并且在０°到９０°范围内,一个角的余弦随角的增大而减小,又cos６０°＝０．５,cos４５°＝２２≈０．７０７,所以４５°＜α＜６０°．【解答】　C．【说明】　解答本题需要从两个角度考虑,一是特殊的三角函数值;二是三角函数的变化规律．初赛题１．如图,沿AE折叠矩形纸片ABCD,使点D落在边BC的点F处,已知AB＝８,BC＝１０,则tan∠EFC的值为(　　)．(第１题)A．３４B．４３C．３５D．４５２．在△ABC中,∠A＝３０°,AB＝４,BC＝４３３,则∠B的度数为(　　)．A．３０°B．９０°C．３０°或６０°D．３０°或９０°３．如图,AB是半圆的直径,弦AD、BC相交于点P,已知∠DPB＝６０°,点D是弧BC的中点,则tan∠DAC等于(　　)．(第３题)A．１２B．２C．３D．３３４．在△ABC中,∠A和∠B均为锐角,AC＝６,BC＝３３,且sinA＝３３,则cosB的值为　　　　．５．在平面直角坐标系中,抛物线y＝x２＋mx－３４m２(m＞０)与x轴交于点A、B,若点A、B到原点的距离分别为OA、OB,且满足１OB－１OA＝２３,则m的值等于　　　　．６．如图,在△ABO中,∠AOB＝９０°,OA＝OB＝１０,分别以边OA、OB所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系,点P自点A出发沿线段AB匀速运动至点B停止,同时点D自原点O出发沿x轴正方向匀速运动,在点P、D运动的过程中,始终满足PO＝PD,过点O、D向AB作垂线,垂足分别为C、E,设OD的长为x．(１)求AP的长;(用含x的代数式表示)(２)在点P、D运动的过程中,线段PC与BE是否相等?若相等,请给予证明;若不相等,请说明理由;(３)设以点P、O、D、E为顶点的四边形的面积为y,请直接写出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围．(第６题)复赛题７．二次函数y＝x２＋bx＋c的图象与x轴正方向交于A、B两点,与y轴正方向交于点C．已知AB＝３AC,∠CAO＝３０°,则c＝　　　　．８．设CD是直角三角形ABC的斜边AB上的高,I１、I２分别是△ADC、△BDC的内心,AC＝３,BC＝４,求I１I２．(第８题)奥赛园地１􀆰A　２．D３􀆰D　提示:设∠DAC＝∠DAB＝x°,∠ABC＝y°,则有x＋y＝６０,２x＋y＝９０,解得x＝３０．所以tan∠DAC＝３３．４􀆰５３　提示:如图,在△ABC中作高CD．(第４题)∵　AC＝６,sinA＝３３,∴　CD＝AC􀅰sinA＝２３,DB＝(３３)２－(２３)２＝１５．∴　cosB＝DBBC＝１５３３＝５３．５􀆰２　提示:设方程x２＋mx－３４m２＝０的两根分别为x１,x２,且x１＜x２,则有x１＋x２＝－m＜０,x１x２＝－３４m２＜０．所以x１＜０,x２＞０．由１OB－１OA＝２３,可知OA＞OB．又m＞０,所以抛物线的对称轴在y轴的左侧,于是OA＝|x１|＝－x１,OB＝x２．所以１x２＋１x１＝２３,x１＋x２x１x２＝２３,故－m－３４m２＝２３．解得m＝２．６􀆰(１)作PG⊥x轴于点G,PF⊥y轴于点F．在Rt△APF中,∠PAF＝４５°,PF＝AP􀅰sin４５°＝２２AP．而OG＝PF,即x２＝２２AP,AP＝２２x．(２)结论:PC＝BE．当０≤x≤１０时,PC＝AC－AP＝５２－２２x,DB＝１０－x．又∠EBD＝４５°,所以EB＝(１０－x)􀅰２２＝５２－２２x．所以PC＝BE．(３)当０≤x≤１０时,y＝－１４x２＋５２x＋２５;当１０＜x＜２０时,y＝５２x．７􀆰１９　提示:由题意知,点C的坐标为(０,c),OC＝c．设A、B两点的坐标分别为(x１,０),(x２,０),则x１,x２是方程x２＋bx＋c＝０的两根．由根与系数的关系得x１＋x２＝－b,x１x２＝c．又∠CAO＝３０°,则AC＝２c,AB＝３AC＝２３c．于是x１＝OA＝ACcos３０°＝３c,x２＝OB＝OA＋AB＝３３c．由x１x２＝９c２＝c,得c＝１９．８􀆰作I１E⊥AB于点E,I２F⊥AB于点F．在直角三角形ABC中,AC＝３,BC＝４,AB＝AC２＋BC２＝５．又CD⊥AB,由射影定理可得AD＝AC２AB＝９５,故BD＝AB－AD＝１６５,CD＝AC２－AD２＝１２５．因为I１E为直角三角形ACD的内切圆的半径,所以I１E＝１２(AD＋CD－AC)＝３５．连接DI１、DI２,则DI１、DI２分别是∠ADC和∠BDC的平分线．所以∠I１DC＝∠I１DA＝∠I２DC＝∠I２DB＝４５°,故∠I１DI２＝９０°．所以I１D⊥I２D,DI１＝I１Esin∠ADI１＝３５sin４５°＝３２５．同理,可求得I２F＝４５,DI２＝４２５．所以I１I２＝DI２１＋DI２２＝２．