第二十八章奥赛园地·数学人教版九下-特训班

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 愿每次回忆,对生活都不感到负疚.———郭小川【例】 若α为锐角,且cosα=0.6,则(  ).A.0°<α<30°B.30°<α<45°C.45°<α<60°D.60°<α<90°【分析】 因为0.5<0.6<1,并且在0°到90°范围内,一个角的余弦随角的增大而减小,又cos60°=0.5,cos45°=22≈0.707,所以45°<α<60°.【解答】 C.【说明】 解答本题需要从两个角度考虑,一是特殊的三角函数值;二是三角函数的变化规律.初赛题1.如图,沿AE折叠矩形纸片ABCD,使点D落在边BC的点F处,已知AB=8,BC=10,则tan∠EFC的值为(  ).(第1题)A.34B.43C.35D.452.在△ABC中,∠A=30°,AB=4,BC=433,则∠B的度数为(  ).A.30°B.90°C.30°或60°D.30°或90°3.如图,AB是半圆的直径,弦AD、BC相交于点P,已知∠DPB=60°,点D是弧BC的中点,则tan∠DAC等于(  ).(第3题)A.12B.2C.3D.334.在△ABC中,∠A和∠B均为锐角,AC=6,BC=33,且sinA=33,则cosB的值为    .5.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx-34m2(m>0)与x轴交于点A、B,若点A、B到原点的距离分别为OA、OB,且满足1OB-1OA=23,则m的值等于    .6.如图,在△ABO中,∠AOB=90°,OA=OB=10,分别以边OA、OB所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系,点P自点A出发沿线段AB匀速运动至点B停止,同时点D自原点O出发沿x轴正方向匀速运动,在点P、D运动的过程中,始终满足PO=PD,过点O、D向AB作垂线,垂足分别为C、E,设OD的长为x.(1)求AP的长;(用含x的代数式表示)(2)在点P、D运动的过程中,线段PC与BE是否相等?若相等,请给予证明;若不相等,请说明理由;(3)设以点P、O、D、E为顶点的四边形的面积为y,请直接写出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(第6题)复赛题7.二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴正方向交于A、B两点,与y轴正方向交于点C.已知AB=3AC,∠CAO=30°,则c=    .8.设CD是直角三角形ABC的斜边AB上的高,I1、I2分别是△ADC、△BDC的内心,AC=3,BC=4,求I1I2.(第8题)奥赛园地1􀆰A 2.D3􀆰D 提示:设∠DAC=∠DAB=x°,∠ABC=y°,则有x+y=60,2x+y=90,解得x=30.所以tan∠DAC=33.4􀆰53 提示:如图,在△ABC中作高CD.(第4题)∵ AC=6,sinA=33,∴ CD=AC􀅰sinA=23,DB=(33)2-(23)2=15.∴ cosB=DBBC=1533=53.5􀆰2 提示:设方程x2+mx-34m2=0的两根分别为x1,x2,且x1<x2,则有x1+x2=-m<0,x1x2=-34m2<0.所以x1<0,x2>0.由1OB-1OA=23,可知OA>OB.又m>0,所以抛物线的对称轴在y轴的左侧,于是OA=|x1|=-x1,OB=x2.所以1x2+1x1=23,x1+x2x1x2=23,故-m-34m2=23.解得m=2.6􀆰(1)作PG⊥x轴于点G,PF⊥y轴于点F.在Rt△APF中,∠PAF=45°,PF=AP􀅰sin45°=22AP.而OG=PF,即x2=22AP,AP=22x.(2)结论:PC=BE.当0≤x≤10时,PC=AC-AP=52-22x,DB=10-x.又∠EBD=45°,所以EB=(10-x)􀅰22=52-22x.所以PC=BE.(3)当0≤x≤10时,y=-14x2+52x+25;当10<x<20时,y=52x.7􀆰19 提示:由题意知,点C的坐标为(0,c),OC=c.设A、B两点的坐标分别为(x1,0),(x2,0),则x1,x2是方程x2+bx+c=0的两根.由根与系数的关系得x1+x2=-b,x1x2=c.又∠CAO=30°,则AC=2c,AB=3AC=23c.于是x1=OA=ACcos30°=3c,x2=OB=OA+AB=33c.由x1x2=9c2=c,得c=19.8􀆰作I1E⊥AB于点E,I2F⊥AB于点F.在直角三角形ABC中,AC=3,BC=4,AB=AC2+BC2=5.又CD⊥AB,由射影定理可得AD=AC2AB=95,故BD=AB-AD=165,CD=AC2-AD2=125.因为I1E为直角三角形ACD的内切圆的半径,所以I1E=12(AD+CD-AC)=35.连接DI1、DI2,则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线.所以∠I1DC=∠I1DA=∠I2DC=∠I2DB=45°,故∠I1DI2=90°.所以I1D⊥I2D,DI1=I1Esin∠ADI1=35sin45°=325.同理,可求得I2F=45,DI2=425.所以I1I2=DI21+DI22=2.

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