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不知道自己无知,乃是双倍的无知.———柏拉图【例１】 如图,△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分(即S１＝S２＝S３),且DE∥FG∥BC,BC＝６,则FG－DE等于( )．A．３－１B．６－３C．６－２D．２－２【分析】 由相似三角形的性质,得DE∶FG∶BC＝１∶２∶３,设DE＝x,FG＝２x,BC＝３x,则３x＝６,∴ x＝２．∴ DE＝２,FG＝２．∴ FG－DE＝２－２．【解答】 D．【说明】 解决问题的关键是利用三角形的面积比与相似比的关系建立方程．【例２】 如图,面积为ab－c的正方形DEFG内接于面积为１的正三角形ABC,其中a,b,c是整数,且b不能被任何质数的平方整除,则a－cb的值等于 ．【分析】 设正方形DEFG的边长为x,正三角形ABC的边长为m,则m２＝４３．由△ADG∽△ABC,可得xm＝３２m－x３２m,解得x＝(２３－３)m．于是x２＝(２３－３)２m２＝２８３－４８,由题意,得a＝２８,b＝３,c＝４８,所以a－cb＝－２０３．【解答】 －２０３．【说明】 解答本题用到了ab－c＝mn－q,a＝m,b＝n,c＝q．初赛题１．(中国教育学会中学数学教学专业委员会“«数学周报»杯”全国初中数学竞赛试题)若ab＝２０,bc＝１０,则a＋bb＋c的值为( )．A．１１２１B．２１１１C．１１０２１D．２１０１１２．如图,在☉O中,弦CD垂直于直径AB,点M是OC的中点,AM的延长线交☉O于点E,DE与BC交于点N．求证:BN＝CN．(第２题)复赛题３．如图,在△ABC中,CD是高,CE为∠ACB的平分线．若AC＝１５,BC＝２０,CD＝１２,则CE的长等于 ．(第３题) (第４题)４．已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD＝AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与☉A分别相交于F、G两点,连接FG交AB于点H,则AHAB的值为 ．奥赛园地１D 提示:由题设得a＋bb＋c＝ab＋１１＋cb＝２０＋１１＋１１０＝２１０１１．２连接AC、BD．证△BCD∽△OCA⇒CBCO＝CDCA．证△CDN∽△CAM⇒CNCM＝CDCA＝CBCO＝CB２CMCN＝１２CB．∴ BN＝CN．３６０２７ 提示:见题图,由勾股定理,知AD＝９,BD＝１６,所以AB＝AD＋BD＝２５．故由勾股定理,知△ABC为直角三角形,且∠ACB＝９０°．作EF⊥BC,垂足为F．设EF＝x,由于EF∥AC,所以EFAC＝BFBC,即x１５＝２０－x２０,解得x＝６０７．∴ CE＝２x＝６０２７．４１３ 提示:如图,延长AD与☉D交于点E,连接AF、EF．(第４题)由题设,知AC＝１３AD,AB＝１３AE,在△FHA和△EFA中,∠EFA＝∠FHA＝９０°,∠FAH＝∠EAF,所以Rt△FHA∽Rt△EFA,AHAF＝AFAE．而AF＝AB,所以AHAB＝１３．