27.2.2相似三角形的判定（2）·数学人教版九下-特训班

第二十七章　相　　似不学之与学,犹喑聋之比于人也.———刘　安第２课时　相似三角形的判定(２)　　１．知道两角对应相等的两个三角形相似,斜边与直角边对应成比例的两个三角形相似．２．能利用两个三角形相似的判定验证两个三角形是否相似,能综合运用相似三角形的性质与判定解题,证角相等,线段成比例．　　夯实基础,才能有所突破􀆺􀆺１．在△ABC和△DEF中,∠A＝４０°,∠B＝８０°,∠D＝４０°,∠E＝８０°,则△ABC∽△DEF,这两个三角形相似的根据是　　　　．２．如图,点D、E分别是△ABC边上的点,∠B＝∠１＝∠２＝∠３,则图中相似三角形共有　　　　对．(第２题)　　(第３题)３．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝９０°,BC＝３,AC＝４,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,则CE的长为(　　)．A．３２B．７６C．２５６D．２(第４题)４．如图,在△ABC中,∠C＝９０°,∠B＝６０°,D是AC上一点,DE⊥AB于点E,且CD＝２,DE＝１,则BC的长为(　　)．A．２B．４３３C．２３D．４３５．如图,在正方形网格上有６个斜三角形:①△ABC;②△CDB;③△DEB;④△FBG;⑤△HGF;⑥△EKF．在②~⑥中与①相似的三角形的序号是(　　)．(第５题)A．②③⑤B．③④⑤C．②④⑤⑥D．③④⑤⑥６．如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是(　　)．①∠１＝∠A;②CDAD＝DBCD;③∠B＋∠２＝９０°;④BC∶AC∶AB＝３∶４∶５;⑤AC􀅰BD＝AC􀅰CD．(第６题)A．１B．２C．３D．４７．如图,在Rt△ABC内有边长分别为a,b,c的三个正方形．则a,b,c满足的关系式是(　　)．A．b＝a＋cB．b＝acC．b２＝a２＋c２D．b＝２a＝２c(第７题)　　(第８题)８．如图,过△ABC(AB＞AC)的边AC上一定点D作直线与AB相交,使得到的新三角形与△ABC相似,这样的直线共有(　　)．A．１条B．２条C．３条D．４条９．如图,在△ABC中,AB＝AC,∠A＝３６°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE．求证:(１)∠CBE＝３６°;(２)AE２＝AC􀅰EC．(第９题)　人之不学,则才智腐于心胸.———刘　昼　　课内与课外的桥梁是这样架设的.１０．如图,在▱ABCD中,EF∥AB,DE∶EA＝２∶３,EF＝４,则CD的长为(　　)．A．１６３B．８C．１０D．１６(第１０题)　　(第１１题)１１．正方形ABCD的边长为４,点M、N分别是BC、CD上的两个动点,且始终保持AM⊥MN．当BM＝　　　　时,四边形ABCN的面积最大．１２．如图,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR分别交AC、CD于点P、Q．(１)请写出图中各对相似三角形(相似比为１的除外);(２)求BP∶PQ∶QR．(第１２题)１３．如图,在△ABD和△ACE中,AB＝AD,AC＝AE,∠BAD＝∠CAE,连接BC、DE相交于点F,BC与AD相交于点G．(１)试判断线段BC、DE的数量关系,并说明理由;(２)如果∠ABC＝∠CBD,那么线段FD是线段FG与FB的比例中项吗,为什么?(第１３题)１４．如图,在正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,作BF⊥AE,垂足为H,交CD于点F,作CG∥AE,交BF于点G．求证:(１)CG＝BH;(２)FC２＝BF􀅰GF;(３)FC２AB２＝GFGB．(第１４题)　　对未知的探索,你准行!１５．如图,在Rt△ABC中,∠A＝３０°,BC＝１０cm,点Q在线段BC上从点B运动到点C,点P在线段BA上从点B向点A运动．Q、P两点同时出发,运动速度相同,当点Q到达点C时,两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M,过点P分别作BC、CA的垂线,垂足分别为E、F．(１)求证:△PQE∽△PMF;(２)当点P、Q运动时,请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系?并证明你的猜想．(第１５题)　　解剖真题,体验情境.１６．(２０１２􀅰山东荷泽)如图,∠DAB＝∠CAE,请你再补充一个条件　　　　,使得△ABC∽△ADE,并说明理由．(第１６题)第２课时　相似三角形的判定(２)１􀆰∠A＝∠D,∠B＝∠E　２．４　３．B　４．D５􀆰B　６．C　７．A　８．B９􀆰(１)∵　DE是AB的垂直平分线,∴　EA＝EB．∴　∠EBA＝∠A＝３６°．∵　AB＝AC,∠A＝３６°,∴　∠ABC＝∠C＝７２°．∴　∠CBE＝∠ABC－∠EBA＝３６°．(２)由(１)知,在△BCE中,∠C＝７２°,∠CBE＝３６°,∴　∠BEC＝∠C＝７２°．∴　BC＝BE＝AE．在△ABC与△BEC中,∠CBE＝∠A,∠C＝∠C,∴　△ABC∽△BEC．∴　ACBC＝BCEC,即BC２＝AC􀅰EC．故AE２＝AC􀅰EC．１０􀆰C　１１．２１２􀆰(１)△BCP∽△BER,△PCQ∽△PAB,△PCQ∽△RDQ,△PAB∽△RDQ．(２)∵　四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,∴　BC＝AD＝CE,AC∥DE．∴　PB＝PR．又　PC∥DR,∴　△PCQ∽△RDQ．又　点R是DE中点,∴　DR＝RE．∴　QR＝２PQ．又　BP＝PR＝PQ＋QR＝３PQ,∴　BP∶PQ∶QR＝３∶１∶２．１３􀆰(１)BC＝DE．∵　在△ABC和△ADE中,AB＝AD,∠CAB＝∠EAD,AC＝AE,∴　△ABC≌△ADE．∴　BC＝DE．(２)由(１),知∠ABC＝∠ADE,∵　∠ABC＝∠CBD,∴　∠ADE＝∠CBD．又　∠BFD＝∠DFG,∴　△BFD∽△DFG．∴　BFDF＝DFGF,即DF为FG与FB的比例中项．１４􀆰(１)∵　BF⊥AE,CG∥AE,CG⊥BF,∴　CG⊥BF．∵　在正方形ABCD中,∠ABH＋∠CBG＝９０°,∠CBG＋∠BCG＝９０°,∠BAH＋∠ABH＝９０°,∴　∠BAH＝∠CBG,∠ABH＝∠BCG,AB＝BC．∴　△ABH≌△BCG．∴　CG＝BH．(２)∵　∠BFC＝∠CFG,∠BCF＝∠CGF＝９０°,∴　△CFG∽△BFC．∴　FCBF＝GFFC,即FC２＝BF􀅰GF．(３)由(２)可知,BC２＝BG􀅰BF,∵　AB＝BC,∴　AB２＝BG􀅰BF．∴　FC２BC２＝FG􀅰BFBG􀅰BF＝FGBG,即FC２AB２＝GFGB．１５􀆰(１)因为PE⊥BC,PF⊥AC,∠C＝９０°,所以∠PEQ＝∠PEM＝９０°,∠EPF＝９０°,即∠EPQ＋∠QPF＝９０°．又∠EPM＋∠QPF＝９０°,所以∠EPQ＝∠EPM＝９０°．所以△PQE∽△PMF．(２)相等．因为PB＝BQ,∠B＝６０°,所以△BPQ是等边三角形．所以∠BQP＝６０°．因为△PQE∽△PMF,所以∠PMF＝∠BQP＝６０°．又∠A＋∠APM＝∠PMF,所以∠A＝∠APM＝３０°．所以PM＝MA．１６􀆰C