《角的平分线的性质》课后拓展训练

12.3角的平分线的性质1．如图11-100所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，下列结论错误的是（）A．BD＋DE＝BCB．DE平分∠ADBC．DA平分∠EDCD．DE＋ACAD2．如图11－101所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列结论中错误的是（）A．DE＝DFB．AD上任意一点到E，F两点的距离相等C．AE＝AFD．BD＝DC3．如图11-102所示，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，AE＝AF，BE与CF交于点D，则：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（）A.①B．②C．①②D．①②③4．如图11-103所示，△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结沦：①AS＝AR：②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是（）A.①③B．②③C．①②D．①②③5．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10cm，BD＝7cm，则点D到AB的距离是．6．如图11-104所示，在直线l上找一点，使这点到∠AOB的两边OA，OB的距离相等，则这个点是．7．如图11-105所示，已知O为∠BAC的平分线与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，若OE＝2，则点O到AB的距离与点O到CD的距离的和是．8．如图11-106所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证点P到AB，BC，CA的距离相等．9．如图1l-107所示，BD是∠ABC的平分线，BA＝BC，点P在BD上，且PM⊥AD，PN⊥CD．求证PM＝PN．10．如图11-108所示，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF与CE交于D，且BD＝CD．（1）求证D在∠BAC的平分线上；（2）若将条件：BD＝CD和结论：D在∠BAC的平分线上互换，结论成立吗?试说明理由．11．如图11-109所示，点B，C在∠A的两边上，且AC＝AB，P为∠A内一点，PC＝PB，PE⊥AB、PF⊥AC，垂足分别为E，F．求证PE＝PF．12．如图11-110所示，已知点B，C分别在∠MAN的两边上，BD⊥AM，CE⊥AN，垂足分别为D，E，BD，CE相交于点F，且BF＝CF．求证点F在∠A的平分线上．（提示：在同一个三角形中，等边对等角，等角对等边）13．如图11-111所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长?请说明理由．参考答案1．B[提示：由AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，可知DC＝DE，所以BD＋DE＝BD＋CD＝BC，选项A成立；DE＋AC＝DC＋ACAD，选项D成立；由AD平分∠BAC，∠DEA＝90°，∠C＝90°，可知∠EDA＝∠CDA，所以选项C成立．]2．D[提示：利用角平分线的性质及全等三角形的有关知识可解本题．]3．D[提示：由ASA可知Rt△ABE≌Rt△ACF，从而AC＝AB，又AE＝AF，故CE＝BF，从而可由AAS得Rt△DFB≌Rt△DEC，有DE＝DF，又DE，DF分别垂直于AC，AB，故点D在∠BAC的平分线上．故①②③均正确．]4．C[提示：连接AP，由PR＝PS及已知条件易证Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），故AR＝AS，∠RAP＝∠SAP，又QA＝QP，故∠QAP＝∠QPA＝∠RAP.从而PQ∥AR，但无法证明△BRP≌△CSP．]5．3cm[提示：由AD平分∠BAC知D到AB，AC的距离相等，又BC＝10cm，BD＝7cm，故CD＝3，又∠ACD＝90°，则点D到AC的距离即是CD的长，为3cm，故D到AB的距离也是3cm．]6．∠AOB的平分线与直线l的交点7．4[提示：过O分别作AB，CD的垂线．则点O到AB，CD的距离均等于OE，故它们的和为4．]8．证明：过P点分别作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PG⊥CA于G．∵BM平分∠ABC，∴PE＝PF．同理PF＝PC．∴PE＝PF＝PG，即点P到AB，BC，CA的距离相等．9．证明：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD．在△ABD和△CBD中，ABDCBDBDBDAB=AB(已知)（已证）∴△ABD≌△CBD（SAS）．∴∠ADB＝∠CDB（全等三角形的对应角相等），即DB是∠ADC的平分线．又∵PM⊥AD，PN⊥DC，∴PM＝PN．10．（1）证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°．在Rt△BED（公共边）和Rt△CFD中()BEDCFDEDBFDCBDCD已知（对顶角相等）∴Rt△BED≌Rt△CFD（AAS）．∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等）．∴D在∠BAC的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．（2）解：成立．理由如下：∵点D在∠BAC的平分线上，且BF⊥AC，CE⊥AB，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°．在Rt△BED和Rt△CFD中，BEDCFDDEDFEDBFDC，∴Rt△BED≌Rt△CFD（ASA）．∴BD＝DC（全等三角形的对应边相等）．11．证明：连接AP，在Rt△ABP和△ACP中，ABACAPAPPBPC，，（公共边），∴△ABP≌△ACP（SSS）∴∠BAP＝∠CAP．又∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE＝PF．12．证明：如图11-112所示，连接BC，作射线AF．∵BD⊥AM，CE⊥AN，∴∠ADB＝∠AEC＝∠BDC＝∠CEB＝90°．∵BF＝CF，∵∠DBC＝∠ECB．又∵BC＝CB，∴△BCD≌△CBE．∴BD＝CE，∴EF＝DF，∴点F在∠CAB的平分线上．13．解：能．过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．理由：∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD和Rt△AED中，,,CDDEADAD∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴AC＝AE．∵AC＝BC，．BC＝AE．∴△BDE的周长＝BD＋DE＋EB＝BD＋DC＋EB＝BC＋EB＝AE＋EB＝AB．（已证）