(完整版)历年上海高考题(立体几何)

17．（2017-21-17）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．17.【解析】（1）∵直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC·AA1=12AB·AC·AA1=12×4×2×5=20.（2）连接AM.∵直三棱柱ABC-A1B1C1，∴AA1⊥底面ABC.∴∠AMA1是直线A1M与平面ABC所成角.∵△ABC是直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，点M是BC的中点，∴AM=12BC=12×42+22=5.由AA1⊥底面ABC，可得AA1⊥AM,∴tan∠A1MA=AA1AM=55=5.∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan5．19．（2016•23-19）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为π，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结O1B1，推导出△O1A1B1为正三角形，从而=，由此能求出三棱锥C﹣O1A1B1的体积．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=，∴△O1A1B1为正三角形，∴=，==．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=45°，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19、（2015.上海）如图。在长方体1111ABCDABCD中，11,2,,AAABADEF分别是,ABBC的中点，证明：11,,,ACFE四点共面，并求直线1CD与平面11ACFE所成角的大小。19．（2014）（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥PABC，其表面展开图是三角形123PPP，如图，求123PPP的各边长及此三棱锥的体积V．19．（本题满分12分）解：在123PPP中，13PAPA，23PCPC，所以AC是中位线，故1224PPAC．同理，234PP，314PP．所以123PPP是等边三角形，各边长均为4．设Q是ABC的中心，则PQ平面ABC，所以233AQ，22263PQAPAQ．从而，12233ABCVSPQ．19.(2013)（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故1111//,ABCDABCD，故ABC1D1为平行四边形，故11//BCAD，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C；直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为h考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得111(12)1323V1B1CBFAEC1A1DDD1C1B1A1DCBA而1ADC中，115,2ACDCAD，故132ADCS所以，13123233Vhh，即直线BC1到平面D1AC的距离为23．19.(2012)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=22，PA=2.求：(1)三角形PCD的面积；(6分)(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)[解](1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.……3分因为PD=32)22(222，CD=2，所以三角形PCD的面积为3232221.……6分(2)[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(2,22,0)，E(1,2,1)，)1,2,1(AE，)0,22,0(BC.……8分设AE与BC的夹角为，则222224||||cosBCAEBCAE，=4.由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是4……12分[解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角……8分在AEF中，由EF=2、AF=2、AE=2知AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF=4.因此异面直线BC与AE所成的角的大小是4……12分21．(2011)（14分）已知1111ABCDABCD是底面边长为1的正四棱柱，1O是11AC和11BD的交点。（1）设1AB与底面1111ABCD所成的角的大小为，二面角111ABDA的大小为。求证：tan2tan；（2）若点C到平面11ABD的距离为43，求正四棱柱1111ABCDABCD的高。ABCDPEABCDPExyzO1DCBAD1C1B1A121．解：设正四棱柱的高为h。⑴连1AO，1AA底面1111ABCD于1A，∴1AB与底面1111ABCD所成的角为11ABA，即11ABA∵11ABAD，1O为11BD中点，∴111AOBD，又1111AOBD，∴11AOA是二面角111ABDA的平面角，即11AOA∴111tanAAhAB，111tan22tanAAhAO。⑵建立如图空间直角坐标系，有11(0,0,),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,)AhBDCh11(1,0,),(0,1,),(1,1,0)ABhADhAC设平面11ABD的一个法向量为(,,)nxyz，∵111100nABnABnADnAD，取1z得(,,1)nhh∴点C到平面11ABD的距离为22||043||1nAChhdnhh，则2h。21、(2010)（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线13AB与35AB所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）zyxA1B1C1D1ABCDO119(2009)（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，12AABCAB,ABBC,求二面角111BACC的大小。19，【解】如图，建立空间直角坐标系则A（2，0，0）、C（0，2，0）A1（2，0，2），B1（0，0，2）、C1（0，2，2）……2分设AC的中点为M，∵BM⊥AC,BM⊥CC1;∴BM⊥平面A1C1C,即BM=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量。……5分设平面111ABC的一个法向量是(,,)nxyz=（x，y，z），1AC=（-2，2，-2），11AB=（-2，0，0）……7分120,2220,1,0,1(0,1,1)...................10nABxnACxyzzxyn令解得分设法向量nBM与的夹角为，二面角111BACC的大小为，显然为锐角1111coscos,233nBMnBMBACC解得二面角的大小为…………………….14分16.(2008)(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点，求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数表示）【解析】过E作BCEF，交BC于F，连接DF．∵EF平面ABCD，∴EDF是直线DE与平面ABCD所成的角．由题意，得1211CCEF．ABCA1B1C1ABCA1B1C1MxzyAEB1D1DC1A1BCEDCA1B1C1D1FCB1C1B1AAC1AA1C1BBxyz∵121CBCF，∴5DF．∵DFEF，∴55tanDFEFEDF．故直线DE与平面ABCD所成角的大小是55arctan．16．(2007)（本题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱111CBAABC中，1,90BCACACB．求直线BA1与平面CCBB11所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．16．解法一：由题意，可得体积11111122ABCVCCSCCACBCCC△，211CCAA．连接1BC．1111111ACBCACCC，，11CA平面CCBB11，11BCA是直线BA1与平面CCBB11所成的角．52211BCCCBC，51tan11111BCCABCA，则11BCA＝55arctan．即直线BA1与平面CCBB11所成角的大小为55arctan．解法二：由题意，可得体积11111122ABCVCCSCCACBCCC，21CC，如图，建立空间直角坐标系．得点(010)B，，，1(002)C，，，1(102)A，，．则1(112)AB，，，平面CCBB11的法向量为(100)n，，．设直线BA1与平面CCBB11所成的角为，BA1与n的夹角为，则116cos6ABnABn，66arcsin,66|cos|sin，即直线BA1与平面CCBB11所成角的大小为66arcsin．19．(2006--19)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．（1）求四棱锥P－ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．[解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60°.在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO,于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为23.∴四棱锥P-ABCD的体积V=31×23×3=2.（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.在Rt△AOB中OA=3,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,－3,0),B(1,0,0),D(－1,0,0),P(0,0,3).E是PB的中点,则E(21,0,23)于是DE=(23,0,23),AP=(0,3,3).PABCDOE设AP与DE的夹角为θ,有cosθ=4233434923,θ=arccos42,∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos42；解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.由E是PB的中点,得EF∥PA，∴∠FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角)，在Rt△AOB中AO=ABcos30°=3=OP，于是,在等腰Rt△POA中，PA=6，